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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 8

Expresamos cada permutación como producto de ciclos disjuntos:
    \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 5 & 6 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 6 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 5 \end{pmatrix} \)
    \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4 \end{pmatrix} \)
    \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 6 & 4 & 5 & 7& 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \end{pmatrix} \)
El orden de una permutación es el mínimo común múltiplo de los órdenes de sus ciclos disjuntos; por lo tanto, tenemos: la primera permutación es de orden 4, la segunda de orden 3 y la tercera de orden 6.
Para calcular las permutaciones inversas podemos hacer, por ejemplo, para la primera:
    \( \begin{array}{l}
    \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 5 & 6 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \rightarrow \\
     \\
    \begin{pmatrix} 4 & 5 & 1 & 6 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 6 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 5 \end{pmatrix}
    \end{array}\)
Hay otro método que resulta más cómodo ya que con él se opera de la siguiente forma: dentro de cada ciclo, el primer elemento se deja invariante, a continuación se coloca el último y se continúa poniendo los elementos que están inmediatamente antes en el ciclo que se estudia. Ha de considerarse que en las transposiciones es indiferente el orden de los elementos. Hacemos entonces:
    \( \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4 \end{pmatrix} \rightarrow \sigma ^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} \)

    \(\pi = \begin{pmatrix} 1 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 6 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 7 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 3 \end{pmatrix} \)
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás