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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 7

Para que un determinado conjunto sea subgrupo de otro que lo contiene, respecto de una ley definida en él, se debe cumplir:
    \(\forall \; a, b \in Z_p \; \rightarrow \; a - b \in Z_p\)
En nuestro caso tenemos:
    \(a \in Z_p \rightarrow a = x_1 p \; ; \; x_1 \in Z_p \; \; ; \; \; b \in Z_p \rightarrow b = x_2 p \; ; \; x_2 \in Z_p\)
Con lo que podemos poner:
    \(a - b = x_1p - x_2 p = (x_1 - x_2)p \in Z_p \; \textrm{ por ser } (x_1 - x_2) \in Z\)
Y, por lo tanto, Zp es un subgrupo de (Z, +).

También se puede demostrar que Zp es un subgrupo de Z comprobando todas las propiedades que ha de cumplir una estructura algebraica para ser grupo.

Ley interna.-

\(\forall \, a p \vee b p \in Z_p \rightarrow a p + b p = (a+b)p \in Z_p\)

Propiedad asociativa.- La cumplen todos los elementos de Z como grupo para (+)

Elemento neutro.- \(0 \in Z_p \subset Z \)

Elementos simétricos.- \( x p + y p = 0 \; \rightarrow \; x = -y

Ley de simplificación.- Se cumple para todos los elementos de Z.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás