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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

 
RESPUESTA DEL EJERCICIO 6

Sabemos que Z está generado por los elementos 1 y -1, y que los automorfismos de Z son los endomorfismos que tienen como imagen a Z ; así pues, tendremos:

Generadores de \( Z = \{1 , -1\} \rightarrow Aut(Z) = \{f_1 , f_2 \} \)

Y estarán definidos en la forma:
    \(\left. \begin{array}{c} f_1 : Z \Rightarrow Z \\ \\ f_1(1) = 1 \end{array} \right \} \; \; f_1(n) = n f_1(1) = n \; \; ; \; \; \left. \begin{array}{c} f_2 : Z \Rightarrow Z \\ \\ f_2(1) = -1 \end{array} \right \}\; \; f_2(n) = n f_2(1) = -n \)
El conjunto de los automorfismos de Z forma un grupo, puesto que se tiene:
    \(f_2 f_2)(u) = f_2[f_2(u)] = f_2(-u) = u = f_1 = I\)
Por lo tanto, al constar de dos elementos, podemos decir que es isomorfo a Z2. El isomorfismo que podemos considerar será:
    \(\begin{matrix} \varphi: Aut(Z) \Rightarrow Z_2 \\ \varphi (f_2) = \bar{1} \end{matrix} \)
Por las mismas consideraciones que antes podemos hacer:
    \(Aut(Z_5) = \{f_1, f_2, f_3, f_4 \}\)
Donde cada fi es:
    \( \left. \begin{array}{l} f_1 : Z_5 \Rightarrow Z_5 \\ \\ f_1(1) = 1 \end{array} \right | \left. \begin{array}{l} f_2 : Z_5 \Rightarrow Z_5 \\ \\ f_2(1) = 2 \end{array} \right | \left. \begin{array}{l} f_3 : Z_5 \Rightarrow Z_5 \\ \\ f_3(1) = 3 \end{array} \right | \begin{array}{l} f_4 : Z_5 \Rightarrow Z_5 \\ \\ f_4(1) = 4 \end{array} \)
Y estos elementos forman un grupo puesto que se tiene:
    \(\begin{array}{l} f_2 f_2 (1) = f_2(2) = 2f_2(1) = 4 = f_4 \\ \\ f_3 f_3 (1) = f_3(3) = 3f_3(1) = 9 = 4 = f_4 \\ \\ f_4 f_3 (1) = f_4(3) = 3f_4(1) = 12 = 2 = f_2 \end{array} \; \; \; \begin{matrix} f_1 & f_2 & f_3 & f_4 \\ f_2 & f_4 & f_1 & f_3 \\ f_3 & f_1 & f_4 & f_3 \\ f_4 & f_3 & f_2 & f_1 \end{matrix} \)
Como el conjunto Aut(Z5) consta de cuatro elementos será isomorfo a Z4. El isomorfismo que podemos considerar será:
    \(\begin{matrix} \varphi: Aut(Z_5) \Rightarrow Z_4 \\ \varphi (f_2) = \bar{1} \end{matrix} \)
Por último, podemos ver que los generadores de Z6 son:
    \( (k) = Z_6 \rightarrow m.c.d(6, 1) = 1 \rightarrow k = 1, 5 \)
Por lo que podemos formar los automorfismos:
    \( \left. \begin{array}{l} f_1 : Z_6 \Rightarrow Z_6 \\ \\ f_1(1) = 1 \end{array} \right | \left. \begin{array}{l} f_2 : Z_6 \Rightarrow Z_6 \\ \\ f_2(1) = 5 \end{array} \right | \; \; \; \{f_1, f_2 \} \)
Al tener dos elementos, el conjunto Aut(Z6) es isomorfo a Z2. El isomorfismo que podemos construir será:
    \(\begin{matrix} \varphi: Aut(Z_6) \Rightarrow Z_2 \\ \varphi (f_2) = \bar{1} \end{matrix} \)
Y el problema queda resuelto.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS PARA ESTUDIOS TÉCNICOS


tema escrito por: José Antonio Hervás