Siendo
Aut(G) el grupo de los automorfismos de un grupo G, demostrar que Aut(Z)
es isomorfo a Z2 ; Aut(Z5) es isomorfo a Z4
y Aut(Z6) es isomorfo a Z2.
RESPUESTA 6
Sabemos que Z está generado por los elementos 1 y -1, y que los automorfismos de Z son los endomorfismos que tienen como imagen a Z ; así pues, tendremos:
Generadores de Z = {1 , -1}
Aut(Z) = {f1 , f2}
Y estarán definidos en la forma:
El conjunto de los automorfismos de Z forma un grupo, puesto que se tiene:
Por lo tanto, al constar de dos elementos, podemos decir que es isomorfo a Z2. El isomorfismo que podemos considerar será:
Por las mismas consideraciones que antes podemos hacer:
Donde cada fi es:
Y estos elementos forman un grupo puesto que se tiene:
Como el conjunto Aut(Z5) consta de cuatro elementos será isomorfo a Z4. El isomorfismo que podemos considerar será:
Por último, podemos ver que los generadores de Z6 son:
Al tener dos elementos, el conjunto Aut(Z6) es isomorfo a Z2. El isomorfismo que podemos construir será:
Y el problema queda terminado.
RESPUESTA 6
Sabemos que Z está generado por los elementos 1 y -1, y que los automorfismos de Z son los endomorfismos que tienen como imagen a Z ; así pues, tendremos:
Generadores de Z = {1 , -1}
Aut(Z) = {f1 , f2}Y estarán definidos en la forma:
El conjunto de los automorfismos de Z forma un grupo, puesto que se tiene:
Por lo tanto, al constar de dos elementos, podemos decir que es isomorfo a Z2. El isomorfismo que podemos considerar será:
Por las mismas consideraciones que antes podemos hacer:
Donde cada fi es:
Y estos elementos forman un grupo puesto que se tiene:
f2.f2(1) = f2(2) = 2.f2(1) = 4 = f4 |
 |
Como el conjunto Aut(Z5) consta de cuatro elementos será isomorfo a Z4. El isomorfismo que podemos considerar será:
Por último, podemos ver que los generadores de Z6 son:
(k) = Z6Por lo que podemos formar los automorfismos:
Al tener dos elementos, el conjunto Aut(Z6) es isomorfo a Z2. El isomorfismo que podemos construir será:
Y el problema queda terminado.