Siendo Aut(G) el grupo de los automorfismos de un grupo G, demostrar que Aut(Z) es isomorfo a Z₂ ; Aut(Z₅) es isomorfo a Z₄ y Aut(Z₆) es isomorfo a Z₂.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 6

Sabemos que Z está generado por los elementos 1 y -1, y que los automorfismos de Z son los endomorfismos que tienen como imagen a Z ; así pues, tendremos:

Generadores de Z = {1 , -1} → Aut(Z) = {f₁ , f₂}

Y estarán definidos en la forma:





El conjunto de los automorfismos de Z forma un grupo, puesto que se tiene:



Por lo tanto, al constar de dos elementos, podemos decir que es isomorfo a Z₂. El isomorfismo que podemos considerar será:


Por las mismas consideraciones que antes podemos hacer:



Donde cada f_i es:



Y estos elementos forman un grupo puesto que se tiene:

f2.f2(1) = f2(2) = 2.f2(1) = 4 = f4 f3.f3(1) = f3(3) = 3.f3(1) = 9 = 4 = f4 f4.f3(1) = f4(3) = 3.f4(1) = 12 = 2 = f2

Como el conjunto Aut(Z₅) consta de cuatro elementos será isomorfo a Z₄. El isomorfismo que podemos considerar será:



Por último, podemos ver que los generadores de Z₆ son:

(k) = Z₆ → mcd(6, k) = 1 → k = 1 , 5

Por lo que podemos formar los automorfismos:



Al tener dos elementos, el conjunto Aut(Z₆) es isomorfo a Z₂. El isomorfismo que podemos construir será:



Y el problema queda terminado.