Siendo
p un número primo, se designa por M el conjunto Zp –
{0} provisto de la multiplicación de enteros módulo p, y
por A el grupo aditivo Zp-1.
RESPUESTA 5
En general, el conjunto Zn dotado e la suma y el producto de clases es un anillo, pero en el caso particular de que n sea primo, entonces Zn es un cuerpo y, por tanto, será grupo aveliano para la segunda ley:
Veamos si para p = 11 el elemento
engendra a M:
y tenemos :
Los enteros módulo 11 que engendren M serán aquellos que cumplan:
Para el último apartado vamos a ver que para p = 11, A y M son isomorfos:
consecuencia, isomorfos entre si. La biyección la podemos construir haciendo corresponder a un generador de A un
generador de M:
a) Demostrar que M es un grupo aveliano
b) Suponiendo que p valga 11, demostrar que
c) Determinar todos los elementos módulo 11 que engendran M
d) Demostrar, para p = 11, que A y M son isomorfos.
RESPUESTA 5
En general, el conjunto Zn dotado e la suma y el producto de clases es un anillo, pero en el caso particular de que n sea primo, entonces Zn es un cuerpo y, por tanto, será grupo aveliano para la segunda ley:
Veamos si para p = 11 el elemento
engendra a M:y tenemos :
Los enteros módulo 11 que engendren M serán aquellos que cumplan:
m.c.d.(10, k) = 1 ==> k = 1, 3, 7, 9por lo tanto, los generadores serán:
21 = 2 ; 23 = 8 ; 27 = 7 ; 29 = 6
Para el último apartado vamos a ver que para p = 11, A y M son isomorfos:
A = Z10 , grupo cíclico (aditivo) de orden 10Los dos grupos son del mismo orden, por lo tanto, según el teorema de Cayley, son isomorfos al grupo simétrico S10 y, en
M = Z11 – {0} , grupo cíclico (multiplicativo) de orden 10
consecuencia, isomorfos entre si. La biyección la podemos construir haciendo corresponder a un generador de A un
generador de M: