PROBLEMAS EJERCICIOS RESUELTOS MATEMÁTICAS TEORÍA DE GRUPOS Estás en Matemáticas y Poesía Problemas y ejercicios resueltos Ejercicios resueltos de teoría de grupos
Demostrar que Zn tiene exactamente n endomorfismos. ¿Cuántos automorfismos tiene?. RESPUESTA DEL EJERCICIO 4 Sabemos que 1 es elemento generador de Zn, por lo tanto, podemos escribir: pero el elemento z también se puede poner: Definimos entonces una aplicación Φ de Zn en Zn que cumpla: Con lo que podemos poner: y puesto que puede tomar valores desde 0 hasta (n-1) resulta que habrá n endomorfismos. Los automorfismos serán aquellos que tengan como imagen Zn; por lo tanto, habrá tantos automorfismos como generadores tenga el grupo.