Demostrar que Z_n tiene exactamente n endomorfismos. ¿Cuántos automorfismos tiene?.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 4

Para demostrar la primera de las cuestiones planteadas, a saber que Z_n tiene n endomorfismos, sabemos que \( \bar{1} \) es elemento generador de Z_n y , por lo tanto, podemos escribir:

\(\forall \, \bar{x} \in Z_n \Rightarrow \bar{x} = k · \bar{1} \; \; ; \; \; k = 0, 1, ···, n-1\)

pero el elemento \( \bar{z} \) también se puede poner:

\(\bar{z} = \underbrace{\bar{1} + \bar{1} + ··· + \bar{1}}_{k} \)

Definimos entonces una aplicación \( \phi \) de Z_n en Z_n que cumpla:

\(\phi(\bar{x} + \bar{y}) = \phi(\bar{x}) + \phi(\bar{y}) \)

Con lo que podemos poner:

\(\begin{array}{l} a = \phi{z} = \phi \left(\underbrace{\bar{1} + \bar{1} + ··· + \bar{1}}_{k}\right) = \\  \\ \underbrace{\phi(\bar{1}) + \phi(\bar{1}) + ··· + \phi(\bar{1})}_{k} = k · \phi(\bar{1}) \end{array}\)

y puesto que \( \phi(\bar{1})\) puede tomar valores desde 0 hasta (n-1) resulta que habrá n endomorfismos.

Los automorfismos serán aquellos que tengan como imagen Z_n; por lo tanto, habrá tantos automorfismos como generadores tenga el grupo.