Demostrar que Z_n tiene exactamente n endomorfismos. ¿Cuántos automorfismos tiene?.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 4

Sabemos que 1 es elemento generador de Z_n, por lo tanto, podemos escribir:



pero el elemento z también se puede poner:



Definimos entonces una aplicación Φ de Z_n en Z_n que cumpla:



Con lo que podemos poner:



y puesto que puede tomar valores desde 0 hasta (n-1) resulta que habrá n endomorfismos.

Los automorfismos serán aquellos que tengan como imagen Z_n; por lo tanto, habrá tantos automorfismos como generadores tenga el grupo.