Demostrar
que Zn tiene exactamente n endomorfismos. ¿Cuántos
automorfismos tiene?.
RESPUESTA 4
Sabemos que
es
elemento generador de Zn, por lo tanto, podemos escribir:
pero el elemento
también se puede poner:
Definimos entonces una aplicación
de
Zn en Zn que cumpla:
Con lo que podemos poner:
y puesto que
puede tomar valores desde 0 hasta (n-1) resulta que habrá n endomorfismos.
Los automorfismos serán aquellos que tengan como imagen Zn; por lo tanto, habrá tantos automorfismos como generadores tenga el grupo.
RESPUESTA 4
Sabemos que
es
elemento generador de Zn, por lo tanto, podemos escribir:pero el elemento
también se puede poner:Definimos entonces una aplicación
de
Zn en Zn que cumpla:Con lo que podemos poner:
y puesto que
puede tomar valores desde 0 hasta (n-1) resulta que habrá n endomorfismos.Los automorfismos serán aquellos que tengan como imagen Zn; por lo tanto, habrá tantos automorfismos como generadores tenga el grupo.