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Ejercicios resueltos de teoría de grupos

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 4

Para demostrar la primera de las cuestiones planteadas, a saber que Zn tiene n endomorfismos, sabemos que \( \bar{1} \) es elemento generador de Zn y , por lo tanto, podemos escribir:
    \(\forall \, \bar{x} \in Z_n \Rightarrow \bar{x} = k и \bar{1} \; \; ; \; \; k = 0, 1, иии, n-1\)
pero el elemento \( \bar{z} \) también se puede poner:
    \(\bar{z} = \underbrace{\bar{1} + \bar{1} + иии + \bar{1}}_{k} \)
Definimos entonces una aplicación \( \phi \) de Zn en Zn que cumpla:
    \(\phi(\bar{x} + \bar{y}) = \phi(\bar{x}) + \phi(\bar{y}) \)
Con lo que podemos poner:
    \(\begin{array}{l} a = \phi{z} = \phi \left(\underbrace{\bar{1} + \bar{1} + иии + \bar{1}}_{k}\right) = \\  \\ \underbrace{\phi(\bar{1}) + \phi(\bar{1}) + иии + \phi(\bar{1})}_{k} = k и \phi(\bar{1}) \end{array}\)
y puesto que \( \phi(\bar{1})\) puede tomar valores desde 0 hasta (n-1) resulta que habrá n endomorfismos.

Los automorfismos serán aquellos que tengan como imagen Zn; por lo tanto, habrá tantos automorfismos como generadores tenga el grupo.
EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS


tema escrito por: José Antonio Hervás