PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 50

Como en algunos de los casos anteriores, planteamos la ecuación:
    \( \begin{array}{l} x^2 + 5x + 6 = 0 \; \; ; \; \; (x+2)(x+3) = 0 \; \; ; \\  \\ (D_x + 2 D_y)(D_x + 3D_y)z = e^{(x-y)} \end{array} \)
Según eso, la solución homogénea será de la forma:
    \( z_h = \phi_1(y-2x) + \phi_2(y - 3x)\)
Para obtener una solución particular de la ecuación completa, ensayamos con la expresión:
    \( z_p = K e^{(\alpha x + \beta y)} = K e^{( x - y)} \)
Y se ha de cumplir:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \phi (\alpha, \beta) = \alpha^2 + 5 \alpha \beta + 6 \beta ^2 \\  \\ \phi (1, -1) = 2 \neq 0 \; \rightarrow \; K = \frac{C}{ \phi (\alpha_1, \beta_1)} = \frac{1}{2} \end{array}\)
Por lo que la solución general será:
    \( \displaystyle z = \phi_1(y-2x) + \phi_2(y - 3x) + \frac{1}{2} e^{(x-y)}\)

Podemos emplear otro de los métodos ya usados anteriormente para obtener una solución particular:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} (D_x + 2 D_y)z = u \; \; ; \; \; (D_x + 3D_y)u = e^{(x-y)} \; \rightarrow \\  \\ \rightarrow \; dx = \frac{dy}{3} = \frac{du}{e^{(x-y)}} \; \rightarrow \; 3x - y = K_1 \end{array}\)
Y combinado las dos primeras ecuaciones según las reglas de las proporciones, con la última:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{dx - dy}{-2} = \frac{du}{e^{(x-y)}} \; ; \; 2 du + e^{(x-y)}(dx - dy) = 0 \\  \\ 2 du + e^t dt = 0 \; ; \; 2u + e^t = K_2 \end{array} \)
Con lo que resulta:
    \( \displaystyle u = \frac{1}{2}(K_2 - e^t) = \frac{1}{2}[ \phi_1 (3x-y) - e^{(x-y)}]\)
Y tomando una solución particular que verifique \(\phi_1 (3x-y) = 0 \) nos queda:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} u_1 = - \frac{1}{2} e^{(x-y)} \\  \\ (D_x - 2D_y)z = - \frac{1}{2} e^{(x-y)} \\  \\ dx = \frac{dy}{2} = \frac{dz}{- \frac{1}{2} e^{(x-y)}} \; \rightarrow \; 2x - y = K_3 \end{array} \)
Por otra parte,
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{dx - dy}{-1} = \frac{dz}{- \frac{1}{2} e^{(x-y)}} \; \rightarrow \\  \\ \rightarrow \; dz = \frac{1}{2} e^{(x-y)}(dx - dy) \; \rightarrow \; z_1 = \frac{1}{2} e^{(x-y)} \end{array} \)
Y la solución general será, como ya sabemos:
    \( \displaystyle z = \phi_1(y-2x) + \phi_2(y - 3x) + \frac{1}{2} e^{(x-y)}\)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
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tema escrito por: José Antonio Hervás