Ejercicios de cálculo vectorial

Demostrar el teorema del coseno en un triángulo por consideraciones vectoriales.

- Respuesta del ejemplo 1

El enunciado del teorema del coseno dice que en todo triángulo se verifica que la longitud de uno de sus lados es igual a la raiz cuadrada de la suma de los cuadrados de los otros dos lados más (o menos) dos veces el producto de dichos lados por el coseno del ángulo que forman.

Matemáticamente este enunciado se expresa:

\[a = \sqrt{b^2 + c^2 \pm 2bc· \cos Â}\]
por lo que la razón del problema es demostrar la anterior expresión.Considerando el triángulo de la figura adjunta, podemos orientar sus lados de tal manera que se cumpla:

\[\vec{b} + \vec{c} = \vec{a}\]
de acuerdo con la definición de suma de vectores.

Si desarrollamos el producto escalar del vector \(\vec{a} \)   por si mismo considerando los dos miembros, tenemos :

\[\begin{array}{l l} \vec{a} · \vec{a} & = & a^2 \\ \Big (\vec{b} + \vec{c}\Big )·\Big (\vec{b} + \vec{c}\Big ) & = & b^2 + c^2 + 2·\vec{b} · \vec{c} = b^2 + c^2 + 2· \cos (b, c) \end{array} \]

Igualando ambas expresiones nos queda :

\[ a^2 = b^2 + c^2 + 2· \cos (b, c) \]
Observando la figura vemos que el ángulo formado por los lados b y c es el denotado por Â. Además, el signo positivo o negativo se refiere a un ángulo agudo u obtuso. Por todo ello:

\[ a^2 = b^2 + c^2 + 2· \cos  \]
Y sacando raices cuadradas :

\[a = \sqrt{b^2 + c^2 \pm 2bc· \cos Â}\]
como queríamos demostrar.