Enunciado 41
Sea el conjunto A = \( \{ 1, -1, x, -x, x^2, -x^2\} \); siendo \(
x^3 = 1 \; , \; x \neq 1 \) comprobar si es grupo para el producto
y, en caso positivo, determinar si es cíclico.
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Enunciado 42
Demostrar que en un grupo de orden par existe al menos un elemento
distinto del neutro que es su propio inverso.
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Enunciado 43
considérese el conjunto formado por los cuatro elementos
\(\{a, b, c, e\}\) y una ley de composición interna dada
por la siguiente tabla:
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
· & e & a & b & c \\ \hline e & e & a
& b & c \\ \hline a & a & b & c & e \\
\hline b & b & c & e & a \\ \hline c & c &
e & a & b \\ \hline
\end{array}
\)
Ver si forman un grupo abeliano y en caso positivo determinar los
subgrupos propios y normales
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Enunciado 44
Sea G un grupo un grupo abeliano; resolver en él la siguiente
ecuación:
\(a · b · x^2 · c = c · x · a \)
Por otro lado, si todos los elementos de G, excepto el elemento
unidad, son de orden 3, demostrar que se verifica:
\(a ·( x^{-1}· a·x) = ( x^{-1}· a·x)· a \)
Siendo \( a \) un elemento de G y para todo x perteneciente a G.
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Enunciado 45
Demostrar que el conjunto de números de la forma:
constituyen un grupo abeliano aditivo
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Enunciado 46
Dado el conjunto de números de la forma \( a + b\sqrt[3]{3}
+ c \sqrt[3]{9} \) con a, b y c números enteros, ver si forman
un grupo para el producto ordinario.
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Enunciado 47
Demuéstrese que los únicos elementos de orden finito
en el grupo \( R - \{0\} \) respecto a la multiplicación
ordinaria son el 1 y el -1.
Ver si tiene estructura de grupo el conjunto de los númeors
racionales positivos con la ley de composición
\(\displaystyle x \ast y = \frac{x}{y}\)
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Enunciado 48
Sea G un grupo y consideremos en él dos elementos de orden
2. Demostrar que si su producto también es de orden 2, entonces
ambos elementos conmutan.
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Enunciado 49
Sea G un grupo finito con un número par de elementos. Demostrar
que el número de elementos de orden 2 es una cantidad impar?.
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Enunciado 50
Sea \( \varphi\) un número racional; demostrar que el conjunto
de elementos de la forma:
\( \cos \varphi + i · sin \varphi \)
tiene estructura de grupo abeliano respecto a la multiplicación
ordinaria.
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