PROBLEMAS RESUELTOS
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EJERCICIOS RESUELTOS

DE TEORÍA DE GRUPOS FINITOS

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Enunciado 41

Sea el conjunto A = \( \{ 1, -1, x, -x, x^2, -x^2\} \); siendo \( x^3 = 1 \; , \; x \neq 1 \) comprobar si es grupo para el producto y, en caso positivo, determinar si es cíclico.
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Enunciado 42

Demostrar que en un grupo de orden par existe al menos un elemento distinto del neutro que es su propio inverso.
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Enunciado 43

considérese el conjunto formado por los cuatro elementos \(\{a, b, c, e\}\) y una ley de composición interna dada por la siguiente tabla:
    \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    · & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ \hline a & a & b & c & e \\ \hline b & b & c & e & a \\ \hline c & c & e & a & b \\ \hline
    \end{array} \)
Ver si forman un grupo abeliano y en caso positivo determinar los subgrupos propios y normales
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Enunciado 44

Sea G un grupo un grupo abeliano; resolver en él la siguiente ecuación:
    \(a · b · x^2 · c = c · x · a \)
Por otro lado, si todos los elementos de G, excepto el elemento unidad, son de orden 3, demostrar que se verifica:
    \(a ·( x^{-1}· a·x) = ( x^{-1}· a·x)· a \)
Siendo \( a \) un elemento de G y para todo x perteneciente a G.
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Enunciado 45

Demostrar que el conjunto de números de la forma:
    \(a + b \sqrt{2}\)
constituyen un grupo abeliano aditivo
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Enunciado 46

Dado el conjunto de números de la forma \( a + b\sqrt[3]{3} + c \sqrt[3]{9} \) con a, b y c números enteros, ver si forman un grupo para el producto ordinario.
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Enunciado 47

Demuéstrese que los únicos elementos de orden finito en el grupo \( R - \{0\} \) respecto a la multiplicación ordinaria son el 1 y el -1.

Ver si tiene estructura de grupo el conjunto de los númeors racionales positivos con la ley de composición
    \(\displaystyle x \ast y = \frac{x}{y}\)
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Enunciado 48

Sea G un grupo y consideremos en él dos elementos de orden 2. Demostrar que si su producto también es de orden 2, entonces ambos elementos conmutan.
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Enunciado 49

Sea G un grupo finito con un número par de elementos. Demostrar que el número de elementos de orden 2 es una cantidad impar?.
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Enunciado 50

Sea \( \varphi\) un número racional; demostrar que el conjunto de elementos de la forma:
    \( \cos \varphi + i · sin \varphi \)
tiene estructura de grupo abeliano respecto a la multiplicación ordinaria.
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PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

grupo primero ~ : ~ grupo segundo ~ : ~ grupo tercero

grupo cuarto ~ : ~ grupo quinto
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tema escrito por: José Antonio Hervás