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DE TEORÍA DE GRUPOS FINITOS

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Enunciado 31

Probar que el conjunto de elementos de la forma:
    \(A = \{ (a, b) \; / \; a, b \in Q \; \; ; a \neq 0 \} \)
Con una ley de composición interna definida en la forma:
    \( (a, b) · (a \, ' , b \, ') = (a · a \, ' \,, b · a \, ' + b\,'\)
Forma un grupo. ¿Es abeliano?
Determinar así mismo que el conjunto de pares de la forma:
    \(H = \{ (1, b) \; / \; b \in Q \} \)
Es un subgrupo de A.
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Enunciado 32

Demostrar que la ley de composición definida en R*xR en la forma:
    \( \displaystyle (x, y) \ast (x\, ' , y \, ') = \left(x · x \, ' , \frac{y\, '}{x} + x\, ' · y \right) \)
Dota al conjunto R* x R de estructura de grupo.
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Enunciado 33

Sea P la recta proyectiva real, de manera que la aplicación:
    \(\displaystyle x \rightarrow \frac{1}{x} \)
Sea una biyección de P.
Se consideran las aplicaciones f1 y f2 de P en si misma definidas en la forma:
    \(\displaystyle f_1(x) = \frac{1}{x} \; \; ; \; \; f_2(x) = 1-x\)
Demostrar que f1 y f2 engendran un grupo de orden 6, cuando se toma como ley de composición la composición de aplicaciones. Formar la tabla y hallar los subgrupos propios.
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Enunciado 34

Considerando el enunciado del ejercicio número 33 y los resultados obtenidos en el mismo, obtener los cogrupos a izquierda y derecha de cada subgrupo, los subgrupos normales o invariantes y la tabla del grupo cociente G/H, siendo H un subgrupo normal de G.
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Enunciado 35

Demostrar las dos cuestiones siguientes para las propiedades de un grupo:
Que el elemento neutro de un grupo es único.
Que el simétrico de un elemento de un grupo es único.
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Enunciado 36

Demostrar las propiedades siguientes para los elementos de un grupo:
Que todos los elementos de un grupo son regulares.
Que el elemento neutro de un subgrupo H de un grupo G coincide con el elemento neutro de G y que el simétrico de todo elemento a es el mismo en H y en G.
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Enunciado 37

Demostrar que (G, +), siendo:
    \(G = \{ \bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}\} \)
Es un grupo. Hallar los subgrupos y decir cuales son invariantes.
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Enunciado 38

Sea (G, *) un grupo y consideremos la aplicación:
    \(G_{\ast} \rightarrow G_{\ast} \; : \; G \rightarrow f(g) = g^{-1}\)
Se sabe además que (G, *) es abeliano. Probar que las aplicación dada es un isomorfismo.
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Enunciado 39

Sea (G, *) un grupo y sea \( f : G \rightarrow G \) una aplicación tal que:
    \(f : g \rightarrow a \ast g \ast a^{-1}\)
Siendo a un elemento fijo de G y a-1 su simétrico. Probar que f es un isomorfismo de (G, *) en (G, *).
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Enunciado 40

Sea G un grupo finito. Si el orden de un elemento a es 4 y el de un elemento b es 6, ¿Cuál es el orden a*b?.
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PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

grupo primero ~ : ~ grupo segundo ~ : ~ grupo tercero

grupo cuarto ~ : ~ grupo quinto
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tema escrito por: José Antonio Hervás