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TEORÍA DE GRUPOS EJERCICIOS RESUELTOS

 
Enunciado 1

Demostrar que el grupo aditivo (Z, +) tiene únicamente dos generadores.
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Enunciado 2

Demostrar que existen seis generadores para el grupo Z14.
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Enunciado 3

Encontrar todos los subgrupos de Z6.
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Enunciado 4

Demostrar que Zn tiene exactamente n endomorfismos. ¿Cuántos automorfismos tiene?.
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Enunciado 5

Siendo p un número primo, se designa por M el conjunto Zp – {0} provisto de la multiplicación de enteros módulo p, y por A el grupo aditivo Zp-1.
a) Demostrar que M es un grupo abeliano
b) Suponiendo que p valga 11, demostrar que \( \bar{2} \) engendra a M.
c) Determinar todos los elementos módulo 11 que engendran M
d) Demostrar, para p = 11, que A y M son isomorfos.
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Enunciado 6


Siendo Aut(G) el grupo de los automorfismos de un grupo G, demostrar que Aut(Z) es isomorfo a Z2 ; Aut(Z5) es isomorfo a Z4 y Aut(Z6) es isomorfo a Z2.

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Enunciado 7


Demostrar que en (Z, +) el conjunto \( Z_p = \{ x p \, : \, x \in Z \} \) es un subgrupo de (Z, +)

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Enunciado 8

Expresar cada una de las permutaciones siguientes como producto de ciclos disjuntos:
    \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 5 & 6 & 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \; \; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix} \; \; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 6 & 4 & 5 & 7& 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)
Y encontrar el orden y la inversa de cada una de ellas

Ver Solución Enunciado 9

Expresar los productos siguientes como producto de ciclos disjuntos:
    \(( 1 \; \; 2 \; \; 3 \; \; 4 \; \; 5)( 1 \; \; 5 \; \; 6)(2 \; \; 4 \; \; 6) \; \; ; \; \; ( 1 \; \; 2 \; \; 3 \; \; 4 )(2 \; \; 3 \; \; 4 \; \; 5)(3 \; \; 4 \; \; 5 \; \; 1)\)

    \(( 1 \; \; 2)(2 \; \; 3)(3 \; \; 4)(4 \; \; 5)(5 \; \; 1)\)
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Enunciado 10

¿Cuales son los grupos simétricos y alternados que son abelianos?
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dice que su fila es:
dice que su columna es:
dice que su fila es:
dice que su columna es:
la fila 15
la columna 16
la fila 03
la columna 03


tema escrito por: José Antonio Hervás