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Enunciado 1

Demostrar que el grupo aditivo (Z, +) tiene únicamente dos generadores.

Ver Solución.

Enunciado 2

Demostrar que existen seis generadores para el grupo Z₁₄.

Ver Solución.

Enunciado 3

Encontrar todos los subgrupos de Z₆.

Ver Solución.

Enunciado 4

Demostrar que Z_n tiene exactamente n endomorfismos. ¿Cuántos automorfismos tiene?.

Ver Solución.

Enunciado 5

Siendo p un número primo, se designa por M el conjunto Z_p – {0} provisto de la multiplicación de enteros módulo p, y por A el grupo aditivo Z_p-1.

a) Demostrar que M es un grupo aveliano
b) Suponiendo que p valga 11, demostrar que 2 engendra a M.
c) Determinar todos los elementos módulo 11 que engendran M
d) Demostrar, para p = 11, que A y M son isomorfos.

Ver Solución.

Enunciado 6

Siendo Aut(G) el grupo de los automorfismos de un grupo G, demostrar que Aut(Z) es isomorfo a Z₂ ; Aut(Z₅) es isomorfo a Z₄ y Aut(Z₆) es isomorfo a Z₂.

Ver Solución. Enunciado 7


Demostrar que en (Z, +) el conjunto es un subgrupo de (Z, +)

Ver Solución.

Enunciado 8

Expresar cada una de las permutaciones siguientes como producto de ciclos disjuntos:



Y encontrar el orden y la inversa de cada una de ellas

Ver Solución.