Ejercicios de transformada de Laplace

Aplicando la transformada de Laplace, la siguiente ecuación:

\( \displaystyle y(t) = 4·t^2 - \int_{0}^{t}y(u)·e^{-(t-u)}du \)

Respuesta al ejercicio 6

Teniendo en cuenta el producto de convolución podemos poner:

\( \displaystyle y(t) = 4t^2 - y(t)\ast e^{-t} \Rightarrow Y(s) = 4\frac{2}{s^3} - Y(s)·\frac{1}{s+1}
\)

Y simplificando:

\( \displaystyle Y(s) = 8·\frac{s+1}{s^3(s+2)} \Rightarrow y(t) = 8\mathfrak{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{s^3(s+2)}\right\} \)

Para calcular la antitransformada descomponemos en fracciones simples:

\( \displaystyle \frac{s+1}{s^3(s+2)} = -\frac{1}{8}·\frac{1}{s}+ \frac{1}{4}·\frac{1}{s^2}+ \frac{1}{2}·\frac{1}{s^3}+ \frac{1}{8}·\frac{1}{s+2} \)

Por consiguiente, la función buscada será:

\( \displaystyle 8\mathfrak{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{s^3(s+2)}\right\} = -t + 2t + 2t^2 + e^{-2t}\)