PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 50

Para determinar la ecuación de la tangente a la curva dada en el punto considerado, calculamos el gradiente de la función. Como la función está dada en forma explícita, podemos calcularlo directamente:

    \( \displaystyle\frac{\partial F}{\partial x} =\frac{x}{8}\; ; \;\frac{\partial F}{\partial y} =\frac{2y}{9}\; ; \;\frac{\partial F}{\partial z} = - \frac{z}{4} \)
Con lo que tendremos:

    \( \displaystyle F'_x(P) = \frac{1}{2}\; ; \;F'_y(P) = \frac{2}{3}\; ; \;F'_z(P) = -1 \)
Es decir:

    \( \displaystyle Grad F_p = \frac{1}{2}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j}- \hat{k} \)
Sabiendo ahora que el gradiente es un vector perpendicular a la superficie en el punto considerado, podemos escribir:
    \( \displaystyle \frac{1}{2}(x-4) + \frac{2}{3}(y-3) - 1(z-4) = 0 \Rightarrow 3x + 2y - 6z = 0 \)
Y para la normal tendremos:
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    \frac{(x-x_o)}{F'_x(P)} = \frac{(y-y_o)}{F'_y(P)} = \frac{(z-z_o)}{F'_z(P)} \Rightarrow \\
    \\
    \Rightarrow \frac{x-4}{1/2}= \frac{y-3}{2/3} = \frac{z-4}{-1}
    \end{array} \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
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tema escrito por: José Antonio Hervás