PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 49

Vamos a determinar en primer lugar el gradiente de la función en el punto dado. Como la función viene dada en forma implícita, ponemos:

    \(z = f(x,y) \Rightarrow f(x,y) - z = 0 \Rightarrow F(x,y,z) = f(x,y) - z = 0 \)
Y derivando:

    \( \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} =\frac{\partial f}{\partial x} = 2x \; ; \; \frac{\partial F}{\partial y} =\frac{\partial f}{\partial y} = 2y \; ; \;\frac{\partial F}{\partial z} =\frac{\partial f}{\partial z} = -1 \)
Por lo que el gradiente de la función en el punto considerado será:
    \( \displaystyle\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)_p \hat{i} + \left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)_p\hat{j} + \left(\frac{\partial F}{\partial z}\right)_p \hat{k} = 2\cdot \hat{i} + 4\cdot \hat{j}- 1\cdot \hat{k} \)
Sabiendo que el gradiente es un vector perpendicular a la superficie en el punto considerado, podemos escribir:

    \( \begin{array}{l}
    2(x-x_o)- 4(y-y_o) - 1(z-z_o) \Rightarrow \\
    \\
    \Rightarrow 2(x-1)- 4(y+2) - 1(z-5)= 0
    \end{array}\)
Y simplificando:

    \( 2x-4y-z-5 = 0\)
Que es la ecuación del plano tangente.
Sabiendo, por otro lado, que la ecuación de la normal al plano tangente viene dada por la expresión:

    \( \displaystyle \frac{(x-x_o)}{F'_x(P)} = \frac{(y-y_o)}{F'_y(P)} = \frac{(z-z_o)}{F'_z(P)} \)
Podemos poner:

    \( \displaystyle \frac{(x-1)}{2} = \frac{(y+2)}{-4} = \frac{(z-5)}{-1} \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás