PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Demostrar que todos los planos tangentes a la superficie:
    \( \displaystyle z = x\cdot f\left(\frac{y}{x}\right) \)
En un punto \( P_o(x_o, y_o, z_o) \; con \; x_o\neq 0\) pasan por el origen de coordenadas.

Respuesta al ejercicio 48

Consideremos la función F(x,y,z) en la forma:

    \( \displaystyle F = x\cdot f\left( \frac{y}{x} \right) - z = 0\)
Obteniendo las derivadas parciales de F:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    F'_x = f\left( \frac{y}{x} \right) + x\cdot f'\left( \frac{y}{x} \right)\left(- \frac{y}{x^2}\right) \\
    \\
    F'_y = x\cdot f'\left( \frac{y}{x} \right)\left( \frac{1}{x} \right)\; ; \; F'_z = -1
    \end{array}\)
Y concretando en el punto P0, tenemos:
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    F'_x(P_o) = f\left( \frac{y_o}{x_o}\right) + x_o\cdot f'\left( \frac{y_o}{x_o} \right)\left(- \frac{y_o}{x_o^2}\right) = \\
    \\
    = f\left( \frac{y_o}{x_o}\right) + f'\left( \frac{y_o}{x_o} \right)\left( \frac{y_o}{x_o}\right)
    \end{array} \)
    \( \displaystyle F'_y(P_o) = x_o \cdot f'\left( \frac{y_o}{x_o} \right)\left( \frac{1}{x_o}\right)= f'\left( \frac{y_o}{x_o} \right)\; ; \; F'_z(P_o) = -1 \)
Con lo cual la ecuación del plano tangente por \((x_o, y_o, z_o)\) será:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \left[ f\left( \frac{y_o}{x_o}\right) - f'\left( \frac{y_o}{x_o} \right)\left(\frac{y_o}{x_o}\right)\right](x-x_o) + \\
    \\
    + f'\left( \frac{y_o}{x_o} \right)(y-y_o) - (z-z_o) = 0
    \end{array}\)
Y desarrollando:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \left[ f\left( \frac{y_o}{x_o}\right) - f'\left( \frac{y_o}{x_o} \right)\left(\frac{y_o}{x_o}\right)\right]x + \\
    \\
    + f'\left( \frac{y_o}{x_o} \right)y - z + z_o - x_o\cdot f'\left( \frac{y_o}{x_o} \right) = 0
    \end{array}\)
Teniendo en cuenta que el punto P0 satisface la ecuación de la superficie se tiene:
    \( \displaystyle z_o = x_o \cdot f\left( \frac{y_o}{x_o}\right) \)
De donde queda:
    \( \displaystyle \left[ f\left( \frac{y_o}{x_o}\right) - f'\left( \frac{y_o}{x_o} \right)\left(\frac{y_o}{x_o}\right)\right]x + f'\left( \frac{y_o}{x_o} \right)y - z = 0\)
Como sabemos que la condición necesaria y suficiente para que un plano pase por el origen es que la ecuación que lo define carezca de término independiente, vemos que la función estudiada verifica la condición pedida.
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 
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tema escrito por: José Antonio Hervás