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ejercicios resueltos de geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Demostrar que la ecuación del plano tangente en el punto \(P_0 (x_0,y_0,z_0) \) a la superficie de segundo orden:

    \( f(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 = K \)
Tiene la forma:
    \( ax_o\cdot x + by_o\cdot y + cz_o\cdot z = K \)
Respuesta al ejercicio 46

La ecuación del plano tangente conociendo el gradiente de la función en el punto P0, será:

    \( F'_x(P_o) (x-x_o) + F'_y(P_o) (y-y_o) + F'_z(P_o) (z-z_o) = 0\)
Si calculamos las derivadas parciales de la función tenemos:

    \( \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} = 2ax\; ; \;\frac{\partial F}{\partial y} = 2by \; ; \;\frac{\partial F}{\partial z} = 2cz \)
El vector gradiente de la función en cualquier punto será:

    \( 2ax\cdot \hat{i} + 2by \cdot \hat{j} + 2cz\cdot\hat{k}\)
Y la ecuación del plano tangente:

    \( 2ax(x-x_o) + 2by(y-y_o) + 2cz(z-z_o) = 0\)
Que desarrollando queda:

    \( 2ax^2 - 2ax_ox + 2by^2 - 2by_oy + 2cz^2 - 2cz_oz = 0\)
De donde podemos hacer:

    \( 2ax_o·x + 2by_o·y + 2cz_o·z = 2a·x^2 + 2b·y^2 + 2c·z^2\)
Y por último:

    \( 2ax_o·x + 2by_o·y + 2cz_o·z = K\)
Como queríamos demostrar.
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 
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tema escrito por: José Antonio Hervás