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ejercicios resueltos de geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Por el punto (3, 4, 12) de la esfera que tiene por ecuación:

    \( x^2 + y^2 + z^2 = 13^2\)
Pasan planos perpendiculares a los ejes OX y OY.

Escribir la ecuación del plano al que pertenecen las tangentes a las secciones que originan aquellos, en dicho punto común.

Respuesta al ejercicio 45

Puesto que la función dada es diferenciable, las tangentes en el punto considerado a todas las secciones que pasan por P, están situadas en un mismo plano que es tangente a la superficie. Por lo tanto, calculando el plano tangente a la esfera en el punto (3, 4, 12) tenemos la solución del problema. El gradiente de la función en el punto indicado tiene de coordenadas:

    \( \begin{array}{l}
    F'_x = 2x \Rightarrow F'_x(P) = 6 \; ; \;F'_y = 2y \Rightarrow F'_y(P) = 8 \\
    \\
    F'_z = 2z \Rightarrow F'_z(P) = 24
    \end{array}\)
Con lo cual:

    \( grad \; F = 6\cdot \hat{i} + 8 \cdot \hat{j} + 24\cdot\hat{k}\)
De donde tenemos que la ecuación del plano tangente en el punto (3, 4, 12) es:

    \(\begin{array}{l}
    6(x-3) + 8(y-4) + 24(z - 12)= 0 \Rightarrow \\
    \\
    \Rightarrow 3x + 4y + 12z = 169
    \end{array}\)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 
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tema escrito por: José Antonio Hervás