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ejercicios resueltos de geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Sea la ecuación de un elipsoide, dada en la forma:
    \( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}+ \frac{z^2}{c^2} = 1 \)
Determinar en que punto de su superficie forma ángulos iguales con los ejes coordenados la normal

Respuesta al ejercicio 44

El punto que cumple la propiedad deseada tendrá de coordenadas \(P_o(x_o, y_o,z_o)\). Vamos a determinar el gradiente de la función en dicho punto.

    \( \displaystyle F'_x = \frac{2x}{a^2}\Rightarrow F'_x(P_o) = \frac{2x_o}{a^2}\; ; \; F'_y = \frac{2y}{b^2}\Rightarrow F'_y(P_o) = \frac{2y_o}{b^2} \)

    \( \displaystyle F'_z = \frac{2z}{c^2}\Rightarrow F'_z(P_o) = \frac{2z_o}{c^2} \)
Las coordenadas del vector gradiente serán entonces:
    \( \displaystyle grad \;F = \frac{2x_o}{a^2}\cdot\hat{i}+ \frac{2y_o}{b^2}\cdot\hat{j}+ \frac{2z_o}{c^2}\cdot\hat{k}\)
Y, por tanto, la ecuación de la normal al plano tangente será:

    \( \displaystyle \frac{x - x_o}{\frac{2x_o}{a^2}} = \frac{y-y_o}{ \frac{2y_o}{b^2}} = \frac{z-z_o}{\frac{2z_o}{c^2}}= \frac{x - x_o}{\frac{x_o}{a^2}} = \frac{y-y_o}{ \frac{y_o}{b^2}} = \frac{z-z_o}{\frac{z_o}{c^2}} \)
Podemos considerar entonces como vector director de la normal el que tenga la forma:

    \( \displaystyle \vec{V}= \left(\frac{x_o}{a^2}, \frac{y_o}{b^2} , \frac{z_o}{c^2}\right)\)
Por otro lado, los vectores directores unitarios que definen los ejes coordenados son:

    \( \vec{v}_1 = (1; 0, 0) \; ; \; \vec{v}_2 = (0, 1, 0)\; ; \; \vec{v}_3 = (0, 0, 1)\)
Para calcular el ángulo que forma la normal con cada uno de los ejes, determinamos el ángulo que forman sus vectores directores, lo que se puede hacer mediante el producto escalar.
    \( \displaystyle\cos \alpha_1 = \frac{\vec{V}\cdot \vec{v}_1}{|\vec{V}|\cdot |\vec{v}_1|} = \frac{\displaystyle\frac{x_o}{a^2}} {\sqrt{\left(\frac{x_o}{a^2}\right)^2 + \left(\frac{y_o}{b^2}\right)^2 +\left(\frac{z_o}{c^2}\right)^2}} \)
    \( \displaystyle\cos \alpha_2 = \frac{\vec{V}\cdot \vec{v}_2}{|\vec{V}|\cdot |\vec{v}_2|} = \frac{\displaystyle\frac{y_o}{a^2}} {\sqrt{\left(\frac{x_o}{a^2}\right)^2 + \left(\frac{y_o}{b^2}\right)^2 +\left(\frac{z_o}{c^2}\right)^2}} \)
    \( \displaystyle\cos \alpha_3 = \frac{\vec{V}\cdot \vec{v}_3}{|\vec{V}|\cdot |\vec{v}_3|} = \frac{\displaystyle\frac{z_o}{a^2}} {\sqrt{\left(\frac{x_o}{a^2}\right)^2 + \left(\frac{y_o}{b^2}\right)^2 +\left(\frac{z_o}{c^2}\right)^2}} \)
Como se ha de cumplir la condición de que los tres ángulos sean iguales, podremos igualar las expresiones anteriores para obtener finalmente:

    \( \displaystyle \frac{x_o}{a^2} = \frac{y_o}{b^2} = \frac{z_o}{c^2}\)
Poniendo, por ejemplo, x0 e y0 en función de z0, tenemos:

    \( \displaystyle x_o = \frac{a^2}{c^2}\cdot z_o\; ; \;y_o = \frac{b^2}{c^2}\cdot z_o \)
Y sustituyendo en la ecuación del elipsoide se tiene:

    \( \displaystyle \frac{\left(\frac{a^2}{c^2}\cdot z_o\right)^2}{a^2}+ \frac{\left( \frac{b^2}{c^2}\cdot z_o\right)^2 }{b^2} + \frac{z_o^2}{c^2} = 1 \)
Que resolviendo nos da el valor:

    \( \displaystyle z_o = \mp \frac{c^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \)
Sustituyendo en los valores de x0 e y0 nos queda:

    \( \displaystyle x_o = \mp \frac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\; ; \;y_o = \mp \frac{b^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 
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tema escrito por: José Antonio Hervás