PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 43

En primer lugar calculamos la ecuación general de las tangentes a la hélice. Para ello derivamos respecto al parámetro t:

    \( X' = -(\sin t)e_1 + (\cos t)e_2 + e_3\)
Con lo que dicha ecuación será:

    \( \begin{array}{l} Y = (\cos t)e_1 + (\sin t)e_2 +t\cdot e_3 + \lambda[-(\sin t)e_1 + (\cos t)e_2 + e_3] = \\ \\ = (\cos t - \lambda \sin t)e_1 + (\sin t + \lambda \cos t)e_2 + (t +\lambda )e_3 \end{array}\)
Por otro lado, sabemos que la ecuación del plano X1X2 es X3 = 0. Así pues, tenemos que resolver el sistema:

    \( \left \{ \begin{matrix} x_1 = \cos t - \lambda \sin t \\x_2 = \sin t + \lambda \cos t \\ x_3 =t +\lambda = 0 \end{matrix}\right. \)
Sustituyendo el valor del parámetro dado por la tercera ecuación, tenemos para las otras dos:

    \( \left. \begin{matrix} x_1 = \cos t - \lambda \sin t \\ \\ x_2 = \sin t + \lambda \cos t \end{matrix}\right\} x_1^2 + x_2^2 = t^2 + 1 \)
Y resulta la ecuación de una parábola.
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás