PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Obtener las ecuaciones del plano tangente y la normal a la superficie dada por la ecuación
    \( x^2 + y^2 + z^2 = 2\cdot Rz \)
En el punto \( P = (R\cdot \cos a \; , \; R\cdot \sin a \; , \; R) \)

Respuesta al ejercicio 40

Para resolver el problema debemos obtener el gradiente de la función en el punto considerado. Previamente transformamos la ecuación dada:

    \( x^2 + y^2 + z^2 = 2Rz \Rightarrow x^2 + y^2 + (z-R)^2 =R^2\)
Calculando las derivadas parciales de esta función, tenemos:

    \( \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} = 2x \; ; \;\frac{\partial F}{\partial y} = 2y \; ; \;\frac{\partial F}{\partial z} = 2(z-R) \)
Y considerando valores en el punto P:

    \( F'_x(P) = 2R\cdot\cos \alpha \; ; \;F'_y(P) = 2R\cdot\sin \alpha \; ; \;F'_z(P) = 0\)
Por lo tanto, podemos poner para el plano tangente:

    \( (x- R\cdot\cos \alpha)2R\cdot\cos \alpha + (y - R\cdot\sin \alpha)2R\cdot\sin \alpha = 0\)
Desarrollando los paréntesis y simplificando nos queda:

    \(x\cdot\cos \alpha + y\cdot\sin \alpha - R = 0\)
Finalmente, la ecuación de la normal al plano será:

    \( \displaystyle\frac{x - R\cdot\cos \alpha }{2 R\cdot\cos \alpha}= \frac{y - R\cdot\sin \alpha}{2 R\cdot\sin \alpha} = \frac{z-R}{0} \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 
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tema escrito por: José Antonio Hervás