PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 39

Calculamos la primera y segunda derivadas de X :
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    X_u = e_1 + 2u·e_3 \quad ; \quad X_v = e_2 - 2v·e_3 \\
    \\
    X_{uu} = 2e_3 \; ; \; X_{uv} = 0 = X_{vu} \; ; \; X_{vv} = - 2e_3
    \end{array} \)
Tenemos a partir de ahí:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    E = 1 + 4u^2 \; ; \; F = - 4·uv \; ; \; G = 1 + 4·v^2 \\
    \\
    X_u \wedge X_v = - 2u·e_1 + 2v·e_2 + e_3 \\ \vec{N} = \frac{- 2u·e_1 + 2v·e_2 + e_3}{\sqrt{4·u^2 + 4·v^2 + 1}}
    \end{array} \)
Los segundos coeficientes fundamentales valdrán:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} L = \frac{2}{\sqrt{4u^2 + 4v^2 + 1}} \quad ; \quad M = 0 \\ \\ N = \frac{2}{\sqrt{4u^2 + 4v^2 + 1}} \end{array}\)
Para estudiar los puntos hacemos:
    \( \displaystyle L·N - M^2 = - \frac{4}{4·u^2 + 4·v^2 + 1} < 0 \)
Los puntos serán hiperbólicos ya que el denominador no se anula nunca y es siempre positivo.
Para calcular la curvatura normal tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} K_n = \frac{II}{I} = \frac{2du^2 - 2v^2}{\sqrt{4u^2 + 4v^2 + 1}}\times \\ \\ \times \frac{1}{[(1 + 4u^2)du^2 - 8uvdudv + (1 + 4v^2)dv^2]} \end{array}\)
y Kn será de tal manera que puede cambiar de signo.
    \(Para du^2 - dv^2 = 0 \Rightarrow du = \mp dv \Rightarrow K_n = 0 \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás