PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 38

Primero obtenemos la expresión L·N - M2 :
    \( X_u = e_1 + (3u^2 + 4u^3)e_3 \quad ; \quad X_v = e_2 + 3v^2·e_3 \)
Y a partir de ahí :
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    N = \frac{X_u \wedge X_v}{|X_u \wedge X_v|} = \frac{(3u^2 + 4u^3)e_1 + 3v^2e_2 + e_3}{\sqrt{(3u^2 + 4u^3)^2 + 9V^4 + 1}} \\
    \\
    X_{uu}= (6u + 12u^2)e_3 \; ; \; X_{uv}= 0 = X_{vu} \; ; \; X_{vv} = 6v·e_3 \\
    \\
    L = \frac{6u + 12u^2}{\sqrt{(3u^2 + 4u^3)^2 + 9V^4 + 1}}\; ; \; M = 0 \\ N = \frac{6v}{\sqrt{(3u^2 + 4u^3)^2 + 9V^4 + 1}}\\
    \\
    \\
    L·N - M^2 = \frac{6v(6u + 12u^2)}{(3u^2 + 4u^3)^2 + 9V^4 + 1} = \\= \frac{36·uv(1 + 2u)}{(3u^2 + 4u^3)^2 + 9V^4 + 1}
    \end{array} \)
Los puntos planos se tendrán cuando se anule la anterior expresión y además se tenga L = M = N = 0. De ese modo:
    \( \displaystyle36·uv(1 + 2u) = 0 \Rightarrow v = 0 \; ; \; u = 0 \; ; \; u = -\frac{1}{2}\)
Y podemos escribir:
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    \delta = \frac{1}{6}dX^3·N = \frac{1}{6}[X_{uuu}·du^3 + 3·X_{uuv}·du^2dv + \\ +3·X_{uvv}·du·dv^2 + X_{vvv}·dv^3] \\
    \\
    X_{uuu} = (6 + 24u)e_3 \; ; \; X_{uuv} = 0 \; ; \; X_{uvv} = 0 \; ; \; X_{vvv} = 6·e_3 \end{array}\)
De donde resulta:
    \( \displaystyle \delta = \frac{1}{\sqrt{(3u^2 + 4u^3)^2 + 9V^4 + 1}}[(1 + 4u)du^3 + dv^3]\)
Sustituyendo en esta expresión los valores u = 0 , v = 0 resulta:
    \( \displaystyle \delta = du^3 + dv^3 = 0 \Rightarrow (du + dv)(du^2 - du·dv + dv^2)= 0 \)
Y será \(\delta = 0 \quad Si \quad (du + dv) = 0\), puesto que el otro polinonio no tiene raices reales. Podemos decir entonces que la expresión :
    \( du + dv = 0 \Rightarrow du = - dv \Rightarrow u = -v + Cte \)
nos dice que hay una recta que corta a la superficie. El punto es el origen.
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás