PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 36

Para Calcular la curvatura normal hemos de conocer la primera y segunda formas fundamentales. Por lo tanto hacemos:
    \( \begin{array}{l}
    X_\varphi = -a·\sin\varphi \sin \psi·e_1 + a·\cos \varphi \sin \psi·e_2 \\
    \\
    X_\psi = -a·\cos\varphi \cos \psi e_1\! +\! a·\sin \varphi \cos \psi e_2 - a·\sin \psi e_3
    \end{array}\)
Y los primeros coeficientes fundamentales serán :
    \( \begin{array}{l} E = X_\varphi·X_\varphi = a^2·\sin^2 \psi \quad ; \quad F = X_\varphi·X_\psi = 0 \\ \\ G = X_\psi·X_\psi = a^2 \end{array}\)
Con lo que resulta:
    \(I = Ed\varphi^2 + 2Fd\varphi d\psi + Gd\psi^2 = a^2·\sin^2 \psi ·d\varphi^2 + a^2·d\psi^2 \)
Por otro lado, para calcular la 2ª forma fundamental hemos de conocer la derivada segunda de X y también a N:
    \( \begin{array}{l}
    X_\varphi \wedge X_\psi =\\= - a^2(\cos\varphi \sin^2\psi e_1 + \sin\varphi \sin^2\psi e_2 + \sin\psi \cos\psi e_3) \\ |X_\varphi \wedge X_\psi| = a^2·\sin \psi \\ \\
    \vec{N} = \frac{X_\varphi \wedge X_\psi}{|X_\varphi \wedge X_\psi|} =\\= -(\cos\varphi \sin\psi ·e_1 + \sin\varphi \sin\psi·e_2 + \cos\psi ·e_3)
    \\
    \\
    X_{\varphi,\varphi}= - a·\cos\varphi \sin \psi·e_1 - a·\sin\varphi \sin\psi ·e_2 \\
    \\
    X_{\varphi,\psi}= - a·\sin\varphi \cos \psi·e_1 - a·\cos\varphi \cos\psi ·e_2 \\
    \\
    X_{\psi,\psi}= - a\cos\varphi \sin \psi ·e_1 \!-\! a\sin\varphi \sin\psi ·e_2 \!-\! a\cos \psi· e_3

    \end{array} \)
A partir de ahí obtenemos:
    \(\begin{array}{l}
    L = a·\cos^2\varphi ·\sin^2\psi + a·\sin^2\varphi ·\sin^2\psi = a·\sin^2\psi \\
    \\
    M = a·\sin\varphi \cos\varphi \sin\psi \cos\psi\! -\! a·\sin \varphi\cos\varphi \sin\psi \cos \psi = 0 \\
    \\
    N = a·\cos^2\varphi \sin^2 \psi + a·\sin^2\varphi \sin^2\psi + a·\cos^2\psi = a
    \end{array} \)
Y finalmente:
    \( II = a·\sin^2\psi ·d\varphi ^2 + a·d \psi^2 \)
con lo que la curvatura normal valdrá:
    \( \displaystyle K = \frac{II}{I}= \frac{a(\sin^2\psi ·d\varphi ^2 + d \psi^2)}{a^2(\sin^2\psi ·d\varphi ^2 + d \psi^2)} = \frac{1}{a} \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás