PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 35

La segunda forma fundamental viene dada por:
    \( II = L·du^2 + 2M·dudv + N·dv^2 \)
Y se tiene:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} L = X_uN_u = X_{uu}N \\  \\ M = - \frac{1}{2}(X_uN_v + X_vN_u) = X_{uv}N \; ; \; N = X_vN_v + X_{vv}N \end{array}\)
Resulta más fácil calcular los coeficientes en la forma XijN, por lo que hacemos:
    \(X_u = e_1 + 2u·e_3 \quad ; \quad X_v = e_2 - 2v·e_3 \)
Y a partir de ahí:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    N = \frac{X_u \wedge X_v}{|X_u \wedge X_v|} = \frac{- 2u·e_1 + 2v·e_2 + e_3}{\sqrt{4·u^2 + 4·v^2 + 1}} \\
    \\
    X_{uu} = 2e_3\; ; \; X_{uv}= 0 = X_{vu} \; ; \; X_{vv}= -2e_3 \\
    \\
    L = \frac{2}{\sqrt{4·u^2 + 4·v^2 + 1}} = X_{uu}·N \; ; \; M = X_{uv}·N = 0\\ N = - \frac{- 2}{\sqrt{4·u^2 + 4·v^2 + 1}}
    \end{array}\)
Con todo lo obtenido podemos poner finalmente:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} II = Ldu^2 + 2Mdudv + Ndv^2 = \\  \\ = \frac{2}{\sqrt{4u^2 + 4v^2 + 1}}(du^2 - dv^2) \end{array}\)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás