Ejercicios de geometría

Hallar la familia de curvas que forman ángulo recto con la familia de curvas X = Cte., sobre la superficie \(Z = a·xy\).

Respuesta al ejercicio 34

Construimos la ecuación:

\( X = u·e_1 + v·e_2 + a·uv·e_3 \)

Y derivando:

\(\displaystyle \begin{array}{l}
X_u = e_1 + a·v·e_3 \quad ; \quad X_v = e_2 + a·u·e_3 \\
\\
dX = \frac{\partial X}{\partial u}du + \frac{\partial X}{\partial v}dv =\\= (e_1 + av·e_3)du + (e_2 + au·e_3)dv
\end{array}\)

Pero se tiene X = Cte., por lo tanto dX = 0 y du = 0 con lo que nos queda :

\( dX = (e_2 + a·u·e_3)dv\)

La condición de que forman ángulo recto es equivalente a \(\cos \alpha = 0\), y según sabemos por teoría se tiene:

\( \displaystyle \cos \alpha = \frac{dx·\delta x}{|dx|·|\delta x|} \Rightarrow 0 = \frac{dx·\delta x}{|dx|·|\delta x|} \Rightarrow dx·\delta x = 0\)

Y desarrollando :

\( \begin{array}{l}
dx·\delta x = [(e_2 + a·u·e_3)dv](X_u·\delta u + X_v·\delta v) = \\
\\
[(e_2 + au·e_3)dv][(e_1 + av·e_3)\delta u + (e_2 + au·e_3)\delta v] = \\
\\
= a^2·vu·dv\delta u + (1 + a^2u^2)dv·\delta v = 0 \\ [a^2·vu\delta u + (1 + a^2u^2)\delta v]dv = 0
\end{array} \)

Con lo que resulta una ecuación diferencial de la forma:

\( \displaystyle a^2·vu· du + (1 + a^2u^2)dv = 0\)

Y operando:

\( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{a^2·u}{1 + a^2v^2}du + \frac{1}{v}dv = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}\ln(1 + a^2u^2) + \ln v = K \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \ln[(1 + a^2u^2)v^2] = K \end{array}\)

Con lo que la ecuación buscada será \((1 + a^2x^2)y^2 = Cte\)