PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 34

Construimos la ecuación:
    \( X = u·e_1 + v·e_2 + a·uv·e_3 \)
Y derivando:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    X_u = e_1 + a·v·e_3 \quad ; \quad X_v = e_2 + a·u·e_3 \\
    \\
    dX = \frac{\partial X}{\partial u}du + \frac{\partial X}{\partial v}dv =\\= (e_1 + av·e_3)du + (e_2 + au·e_3)dv
    \end{array}\)
Pero se tiene X = Cte., por lo tanto dX = 0 y du = 0 con lo que nos queda :
    \( dX = (e_2 + a·u·e_3)dv\)
La condición de que forman ángulo recto es equivalente a \(\cos \alpha = 0\), y según sabemos por teoría se tiene:
    \( \displaystyle \cos \alpha = \frac{dx·\delta x}{|dx|·|\delta x|} \Rightarrow 0 = \frac{dx·\delta x}{|dx|·|\delta x|} \Rightarrow dx·\delta x = 0\)
Y desarrollando :
    \( \begin{array}{l}
    dx·\delta x = [(e_2 + a·u·e_3)dv](X_u·\delta u + X_v·\delta v) = \\
    \\
    [(e_2 + au·e_3)dv][(e_1 + av·e_3)\delta u + (e_2 + au·e_3)\delta v] = \\
    \\
    = a^2·vu·dv\delta u + (1 + a^2u^2)dv·\delta v = 0 \\ [a^2·vu\delta u + (1 + a^2u^2)\delta v]dv = 0
    \end{array} \)
Con lo que resulta una ecuación diferencial de la forma:
    \( \displaystyle a^2·vu· du + (1 + a^2u^2)dv = 0\)
Y operando:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{a^2u}{1 + a^2v^2}du + \frac{1}{v}dv = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}\ln(1 + a^2u^2) + \ln v = K \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \ln[(1 + a^2u^2)v^2] = K \end{array}\)
Con lo que la ecuación buscada será \((1 + a^2x^2)y^2 = Cte\)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás