PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 33

Tenemos que comprobar que se cumple:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    S_1 = S_2 \Rightarrow \int\int_w \sqrt{E_1·G_1 - F_1^2}dxdy = \\
     \\
    = \int\int_w \sqrt{E_2·G_2 - F_2^2}dxdy
    \end{array}\)
Y para ello hacemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    X_1 = x·e_1 + y·e_2 + \frac{1}{2}a(x^2+y^2)e_3 \\
     \\
    X_1 = x·e_1 + y·e_2 + a·xy·e_3
    \end{array}\)
Y obteniendo las derivadas:
    \(\displaystyle\begin{array}{l}
    \left.
    \begin{array}{l}
    X_{1x}= e_1 + a·x·e_3 \\
    \\
    X_{1y}= e_2 + a·y·e_3 \\
    \end{array}
    \right\}\quad E_1 = 1 + a^2x^2\\ \\ F_1 = a^2·xy \; ; \;G_1 = 1 + a^2y^2
    \\
    \\
    \left.
    \begin{array}{l}
    X_{2x}= e_1 + a·y·e_3 \\
    \\
    X_{2y}= e_2 + a·x·e_3 \\
    \end{array}
    \right\} \quad E_2 = 1 + a^2y^2\\ \\ F_2 = a^2·xy \; ; \;G_2 = 1 + a^2x^2
    \end{array}\)
Con lo que resulta finalmente:
    \(\displaystyle S_1 = \int\int_w \sqrt{(1+a^2x^2)(1+a^2y^2)- a^4y^2x^2}dxdy = S_2 \)
Puesto que ambas integraciones se realizan sobre la misma región del plano Oxy
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás