PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 32

El área viene dad por la expresión:
    \(\displaystyle A = \int\int_w \sqrt{E·G - F^2}du·dv \)
Y los coeficientes fundamentalas se obtienen de:

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    X_u = a·\cos v·e_1 \\ X_v = -a·u·\sin v·e_1 + a·u·\cos v·e_2 + b·e_3 \\
    \\
    E = a^2 \quad ; \quad F = 0 \quad ; \quad G = a^2·u^2 + b^2
    \end{array}\)
Con lo que tenemos:
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    A = \int\int_w \sqrt{a^2(a^2u^2 + b^2)}du·dv =\\ =\int\int_wa^2 \sqrt{u^2 + (b/a)^2)}du·dv = \\
    \\
    = \int_0^1 dv \int_0^{b/a}a^2 \sqrt{u^2 + (b/a)^2)}du
    \end{array} \)
Para la primera integral hacemos:
    \( \displaystyle u = \frac{b}{a}·\tan t \Rightarrow du = \frac{b}{a}·\frac{1}{\cos^2 t}dt \quad ; \quad u = \frac{b}{a} \Rightarrow t = \frac{\pi}{2} \)
Y sustituyendo:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \int_0^1 dv \int_0^{\pi/2}a^2 \sqrt{\frac{b^2}{a^2}\tan^2t + \frac{b^2}{a^2}}\frac{b}{a}·\frac{1}{\cos^2 t}dt = \\
    \\
    = \int_0^1 dv \int_0^{\pi/2}b^2\sqrt{1 + \tan^2 t}·\frac{1}{\cos^2 t}·dt =\\= b^2\int_0^1dv \int_0^{\pi/2}·\frac{1}{\cos^3 t}·dt
    \end{array}\)
Pero se tiene:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    2 \int \frac{1}{\cos^3 t}·dt = 2\int\frac{1}{\cos t}·dt + 2\int\frac{\sin^2}{\cos^3 t}·dt = \frac{\sin t}{\cos^2 t} + \\
    \\
    + \int \frac{dt}{\cos t} = \frac{\sin t}{\cos^2 t} +\ln\left(\frac{1}{\cos t} + \tan t\right)

    \end{array}\)
Con lo que resulta:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    A = b^2 \int_0^1 dv \left[ \frac{\sin t}{2\cos^2 t} + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{\cos t} + \tan t\right)\right]_0^{\pi/2} \\
    \\
    b^2\int_0^1 dv \left[\frac{1}{2} + \frac{1}{2}·\ln(\sqrt{2} + 1)- \frac{1}{2}·\ln 1\right] =\\=b^2\int_0^1[\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}·\ln(\sqrt{2} + 1)] dv = \\
    \\
    = \left[\frac{1}{2}v+ \frac{1}{2}·\ln(\sqrt{2} + 1)v\right]_0^1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}·\ln(\sqrt{2} + 1)
    \end{array} \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás