PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 31

El ángulo formado por dos direcciones se obtiene a partir de la ecuación:
    \( \displaystyle \cos \alpha = \frac{dX_1·dX_2}{|dX_1||dX_2|}\)
Para obtener cada una de estas expresiones construimos la función:
    \(X = u·e_1 + v·e_2 + a·vu·e_3\)
Para la que se tiene:
    \( \begin{array}{l}
    u = K_1 \Rightarrow X = K_1·e_1 + v·e_2 + a·vK_1·e_3 \\ dX_1 = (e_2 + aK_1·e_3)dv\\
    \\
    v = K_2 \Rightarrow X = u·e_1 + K_2·e_2 + a·K_2u·e_3 \\ dX_2 = (e_1 + aK_2·e_3)du
    \end{array}\)
Y por tanto:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \cos \alpha = \frac{(e_2 + aK_1·e_3)dv·(e_1 + aK_2·e_3)du }{dv\sqrt{1 + a^2K_1^2}·du\sqrt{1 + a^2K_2^2}} = \\
     \\
    = \frac{a^2K_1K_2}{\sqrt{(1 + a^2K_1^2)(1 + a^2K_2^2)}}
    \end{array}\)
Con lo que se verifica:
    \( \displaystyle \cos \alpha = \frac{F}{\sqrt{E}·\sqrt{G}} \)
Pues tenemos:
    \(\left.
    \begin{array}{l}
    X_u = e_1\! +\! ave_3 \\
    \\
    X_v = e_2 \!+\! auv_3 \\
    \end{array}
    \right\} \; E = 1\! +\! a^2v^2 \; ; \; F = a^2vu \; ; \; G = 1\! + \!a^2u^2
    \)
Y haciendo \(u = K_1 \; y \; v = K_2\):
    \( E = 1 + a^2K_2^2 \quad ; \quad F = a^2vu \quad ; \quad G = 1 + a^2K_1^2 \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás