PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 30

La ecuación de la curva sobre la supeficie es:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    X = \left(e ^{\frac{1}{\sqrt{2}}\varphi·\cot \beta}·\cos \varphi\right)e_1 + \\
     \\
    + \left(e ^{\frac{1}{\sqrt{2}}\varphi·\cot \beta}·\sin \varphi\right)e_2 + e ^{\frac{1}{\sqrt{2}}\varphi·\cot \beta}e_3
    \end{array}\)
Para calcular la longitud del arco debemos conocer la primera forma fundamental, y para ello hacemos:
    \( \begin{array}{l}
    X_u = \cos \varphi ·e_1 + \sin\varphi·e_2 + e_3 \\ X_\varphi = -u·\sin \varphi ·e_1 + u·\cos \varphi ·e_2 \\
    \\
    E = X_u·X_u = \cos^2\varphi + \sin^2\varphi + 1 = 2\\ F = X_u·X_\varphi = 0 \; ; \; G = X_\varphi ·X_\varphi = u^2
    \end{array} \)
Si la longitud del arco viene dado por la expresión:
    \(\displaystyle S = \int_a^b \left[E\left(\frac{du}{d\varphi}\right)^2 + 2F\left(\frac{du}{d\varphi}\right)\left(\frac{d\varphi}{d\varphi}\right) + G\left(\frac{d\varphi}{d\varphi}\right)^2\right]^{1/2}d\varphi \)
Tendremos:
    \( \displaystyle \left(\frac{du}{d\varphi}\right)^2 = \left[\frac{d}{d\varphi}\left(e ^{\frac{1}{\sqrt{2}}\varphi·\cot \beta}\right)\right]^2 = \frac{\cot^2\beta}{2}·e^{\sqrt{2}·\cot^2\beta} \)
Y sustituyendo:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    S = \int_0^\pi \left[2·\frac{\cot^2\beta}{2}·e^{\sqrt{2}·\cot^2\beta} + e^{\sqrt{2}\varphi·\cot \beta}\right]d\varphi =\\ = \int_0^\pi \sqrt{\cot^2 \beta + 1}e^{\varphi\frac{\cot \beta}{\sqrt{2}}} ·d\varphi = \\
    \\
    = \sqrt{\cot^2 \beta + 1}·\frac{\sqrt{2}}{\cot \beta}\left[e^{\frac{\varphi}{\sqrt{2}}\cot \beta}\right]_0^\pi =\\= \frac{\sqrt{2(\cot^2 \beta + 1)}}{\cot \beta}\left(e^{\frac{\pi}{\sqrt{2}}\cot \beta} - 1 \right) = \\
    \\
    = \frac{\sqrt{2}}{\cos \beta}\left(e^{\frac{\pi}{\sqrt{2}}\cot \beta} - 1 \right)
    \end{array} \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás