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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Calcular los primeros coeficientes fundamentales y la primera forma fundmental de la superficie:
    \( X = (u+v)e_1 + (u-v)e_2 + uv·e_3\)
Y ver que ocurre para los parámetros \(\varphi = u+v \quad ; \quad \psi = u-v\)

Respuesta al ejercicio 29

Derivando respecto a "u" y "v" tenemos :
    \(X_u = e_1 + e_2 + v·e_3 \quad ; \quad X_v = e_1 - e_2 + u·e_3\)
Con lo que los primeros coeficientes fundamentales valdrán:
    \(\begin{array}{l} E = X_uX_u = 2 + v^2\quad ; \quad F = X_uX_v = uv \\  \\ G = X_vX_v = 2 + u^2 \end{array}\)
Y la primera forma fundamental se podrá escribir:
    \(\begin{array}{l} I = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2 = \\  \\ = (2 + v^2)du^2 + 2uvdudv + (2 + u^2)dv^2 \end{array}\)
Para ver que ocurre con los parámetros \(\varphi \; y \; \psi\) sustituimos en la ecuación del enunciado:
    \( \displaystyle X = \varphi·e_1 + \psi·e_2 + \frac{1}{4}(\varphi^2 - \psi^2)e_3\)
Puesto que se tiene:
    \( \displaystyle u = \frac{\varphi + \psi}{2} \quad ; \quad v = \frac{\varphi - \psi}{2}\)
Derivando X respecto de \(\varphi \; y \; \psi\) resulta:
    \( \displaystyle X_\varphi = e_1 + \frac{1}{2}·\varphi e_3 \quad ; \quad X_\psi = e_1 - \frac{1}{2}·\psi e_3\)
Y los primeros coeficientes fundamentales e I* se escribirán:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    E* = X_\varphi·X_\varphi = 1 + \frac{1}{4}\varphi^2 \; ; \;F* = X_\varphi·X_\psi = - \frac{1}{4}\varphi\psi \\ G* = X_\psi·X_\psi = 1 + \frac{1}{4}\psi^2 \\
    \\
    I* = \left(1 + \frac{1}{4}\varphi^2\right)d\varphi^2 - \frac{1}{2}\varphi·\psi·d\varphi d\psi + \left(1 + \frac{1}{4}\psi^2\right)d\psi^2
    \end{array}\)
Sustituyendo los valores de \(\varphi \; y \; \psi\) en función de u y v resulta I* = I, como ya sabemos por teoría.
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 
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tema escrito por: José Antonio Hervás