PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 28

El plano tangente a la superficie en el punto considerado se obtiene calculando el producto vectorial:

    \(X_u \wedge X_v|_f \)
Y tenemos:
    \( \begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} X_u = e_1 + 2ue_3 \quad ; \quad X_u = e_1 + 2e_3 \\ \\ X_v = e_2 - 2ve_3 \quad ; \quad X_v = e_2 - 2e_3 \\ \end{array} \right\} \\  \\ X_u \wedge X_v|_f = - 2e_1 + 2e_2 + e_3 \end{array}\)
A partir de aquí, el plano tangente viene dado por la expresión:
    \( (Y-X)·\vec{V} = 0 \Rightarrow [(y_1 + y_2 + y_3) - (1,1,0)(-2, 2, 1)] = 0\)
Y haciendo operaciones:
    \( -2(y_1 - 1) + 2(y_2 - 1) + y_3 = 0 \quad ; \quad -2y_1 + 2y_2 + y_3 = 0\)
Para calcular la recta normal obtenemos el vector \(\vec{N}\):
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \vec{N} = \frac{X_u \wedge X_v}{|X_u \wedge X_v|} = \frac{1}{\sqrt{4+4+1}}(- 2e_1 + 2e_2 + e_3)= \\  \\ = \left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) \end{array} \)
Con lo que resulta:
    \( \displaystyle \frac{y_1-1}{-2/3} = \frac{y_2-1}{2/3}= \frac{y_3}{ 1/3} = t \Rightarrow\quad \left\{
    \begin{array}{l}
    y_1 = t \\
    \\
    y_2 = 2t + 1 \\
    \\
    y_3 = - 2t + 1 \\
    \end{array}
    \right. \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás