Ejercicios de geometría

Calcular la normal principal y la binormal y expresar el triedro móvil en cada uno de los puntos de la curva:

\(X = (3t - t^3) e_1 + 3t^2·e_2 + (3t-t^3)·e_3 \)

Respuesta al ejercicio 27

Primero tenemos que calcular \(\vec{t} = \dot{X}(s)\) , por lo tanto:

\( \displaystyle\begin{array}{l}
\vec{t} = \dot{X}(s) = \frac{dX}{ds} = \frac{dX}{dt}·\frac{dt}{ds} = \frac{X'}{|X'|} \\
 \\
X' = (3-3t^2)e_1 + 6t·e_2 + (3+3t^2)e_3
\end{array} \)

Y a partir de ahí:

\( \displaystyle \begin{array}{l}
|X'| = \sqrt{(3-3t^2)^2 + 36t^2 + (3+3t^2)^2} =\\ =\sqrt{18(1+t^2)^2} = 3\sqrt{2}(1+t^2) \\
\\
\vec{t} = \frac{1}{3\sqrt{2}(1+t^2)}[(3-3t^2)e_1 + 6t·e_2 + (3+3t^2)e_3 ]
\end{array}\)

Podemos calcular ahora el vector \(\vec{K} \):

\( \displaystyle \vec{K} = \dot{\vec{t}} = \frac{d\vec{t}}{ds} = \frac{d\vec{t}}{dt}·\frac{dt}{ds} = \frac{\vec{t}'}{|X'|} \)

Y tenemos :

\( \displaystyle \begin{array}{l} \vec{t}' = \frac{(-6te_1 + 6e_2 + 6te_3)3\sqrt{2}(1+t^2) }{18(1 + t^2)^2}-\\ \frac{( 6\sqrt{2t[(3-3t^2)e_1 + 6te_2+ (3+3t^2)e_3]}}{18(1 + t^2)^2} \\ \\ \frac{\sqrt{2}}{(1+t^2)^2}[-2t·e_1 + (1-t^2)·e_2]\Rightarrow \\\Rightarrow \vec{K} = \frac{1}{3(1+t^2)^3}[-2t·e_1 + (1-t^2)·e_2] \end{array} \)

De donde resulta:

\(\displaystyle \begin{array}{l}
|\vec{K}| =\frac{\sqrt{4t^2 +(1-t^2)^2 }}{3(1+t^2)^3} = \frac{1}{3(1+t^2)^3}\Rightarrow \\
 \\
\Rightarrow \vec{n}= \frac{\vec{K}}{|\vec{K}|} = \frac{1}{(1+t^2)^2}[-2te_1 + (1-t^2)e_2]
\end{array}\)

Y finalmente:

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\vec{b} = \vec{t}\wedge \vec{n} =\\ = \frac{1}{3\sqrt{2}(1+t^2)^2}[(3-3t^2)e_1 + 6te_2 + (3+3t^2)e_3 ]\wedge \\ \wedge [-2te_1 + (1-t^2)e_2]= \\
\\
\frac{-3(1-t^2)(1+t^2)e_1 - 6t(1+t^2)e_2 + 3(1+t^2)^2e_3 }{3\sqrt{2}(1+t^2)^2} =\\
\\
= \frac{-3(1-t^2)e_1 - 2te_2 + (1+t^2)e_3 }{ \sqrt{2}(1+t^2)}
\end{array}\)

Para conocer la expresión de los planos tangente (osculador) normal y rectificante, recordamos que se tiene, respectivamente:

\( \begin{array}{l}
\textrm{ plano normal } \quad (Y - X)\vec{t} = 0 \\
\\
\textrm{ plano tangente } \quad (Y - X)\vec{b} = 0 \\
\\
\textrm{ plano rectificante } \quad (Y - X)\vec{n} = 0
\end{array}\)