PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 27

Primero tenemos que calcular \(\vec{t} = \dot{X}(s)\) , por lo tanto:
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    \vec{t} = \dot{X}(s) = \frac{dX}{ds} = \frac{dX}{dt}·\frac{dt}{ds} = \frac{X'}{|X'|} \\
     \\
    X' = (3-3t^2)e_1 + 6t·e_2 + (3+3t^2)e_3
    \end{array} \)
Y a partir de ahí:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    |X'| = \sqrt{(3-3t^2)^2 + 36t^2 + (3+3t^2)^2} =\\ =\sqrt{18(1+t^2)^2} = 3\sqrt{2}(1+t^2) \\
    \\
    \vec{t} = \frac{1}{3\sqrt{2}(1+t^2)}[(3-3t^2)e_1 + 6t·e_2 + (3+3t^2)e_3 ]
    \end{array}\)
Podemos calcular ahora el vector \(\vec{K} \):
    \( \displaystyle \vec{K} = \dot{\vec{t}} = \frac{d\vec{t}}{ds} = \frac{d\vec{t}}{dt}·\frac{dt}{ds} = \frac{\vec{t}'}{|X'|} \)
Y tenemos :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \vec{t}' = \frac{(-6te_1 + 6e_2 + 6te_3)3\sqrt{2}(1+t^2) }{18(1 + t^2)^2}-\\ \frac{( 6\sqrt{2t[(3-3t^2)e_1 + 6te_2+ (3+3t^2)e_3]}}{18(1 + t^2)^2} \\ \\ \frac{\sqrt{2}}{(1+t^2)^2}[-2te_1 + (1-t^2)e_2]\Rightarrow \\\Rightarrow \vec{K} = \frac{1}{3(1+t^2)^3}[-2te_1 + (1-t^2)e_2] \end{array} \)
De donde resulta:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    |\vec{K}| =\frac{\sqrt{4t^2 +(1-t^2)^2 }}{3(1+t^2)^3} = \frac{1}{3(1+t^2)^3}\Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow \vec{n}= \frac{\vec{K}}{|\vec{K}|} = \frac{1}{(1+t^2)^2}[-2te_1 + (1-t^2)e_2]
    \end{array}\)
Y finalmente:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \vec{b} = \vec{t}\wedge \vec{n} =\\ = \frac{1}{3\sqrt{2}(1+t^2)^2}[(3-3t^2)e_1 + 6te_2 + (3+3t^2)e_3 ]\wedge \\ \wedge [-2te_1 + (1-t^2)e_2]= \\
    \\
    \frac{-3(1-t^2)(1+t^2)e_1 - 6t(1+t^2)e_2 + 3(1+t^2)^2e_3 }{3\sqrt{2}(1+t^2)^2} =\\
    \\
    = \frac{-3(1-t^2)e_1 - 2te_2 + (1+t^2)e_3 }{ \sqrt{2}(1+t^2)}
    \end{array}\)
Para conocer la expresión de los planos tangente (osculador) normal y rectificante, recordamos que se tiene, respectivamente:

    \( \begin{array}{l}
    \textrm{ plano normal } \quad (Y - X)\vec{t} = 0 \\
    \\
    \textrm{ plano tangente } \quad (Y - X)\vec{b} = 0 \\
    \\
    \textrm{ plano rectificante } \quad (Y - X)\vec{n} = 0
    \end{array}\)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás