PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 25

El enunciado nos pide demostrar que se tiene:
    \( \displaystyle \left|\frac{dX}{ds}\right| = 1 \)
Para ello hacemos \(s + \sqrt{s^2 + 1} = u\) , con lo que resulta:

    \( \displaystyle\frac{du}{ds} = 1 + \frac{s}{\sqrt{s^2 + 1} }\)
Y a partir de ahí:
    \(\displaystyle X_1 = \frac{1}{2}·u \quad ; \quad X_2 = \frac{1}{2u} \quad ; \quad X_3 =\frac{\sqrt{2}}{2}·\ln u\)
Y derivando:
    \( \displaystyle \frac{}{}
    \begin{array}{l}
    \frac{dX_1}{ds} = \frac{dX_1}{du}·\frac{du}{ds}= \frac{\sqrt{s^2+1}+ s}{2\sqrt{s^2+1}} \\
    \\
    \frac{dX_2}{ds} = \frac{dX_2}{du}·\frac{du}{ds}= - \frac{1}{2(s +\sqrt{s^2+1} )\sqrt{s^2+1}} \\
    \\
    \frac{dX_3}{ds} = \frac{dX_3}{du}·\frac{du}{ds}= \frac{1}{\sqrt{2s^2+ 2}}
    \end{array}\)
El módulo valdrá entonces:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \left|\frac{dX}{ds}\right| = \\
     \\
    = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{s^2+1}+ s}{2\sqrt{s^2+1}}\right)^2+ \left(- \frac{1}{2(s +\sqrt{s^2+1} )\sqrt{s^2+1}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2s^2+ 2}} \right)^2 }\\ = 1
    \end{array}\)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás