PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

ver el enunciado en

Ejercicios resueltos de geometría

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas resueltos

 

Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 24

Es fácil ver que el cambio de parámetro es admisible, pues se tiene:
    \( \displaystyle\begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} X'_1 = - a·\sin \theta \\ \\ X'_2 = a·\cos \theta \\ \end{array} \right\} \quad \textrm{ contínuas }\quad \frac{dt}{d\theta} = \\  \\ = \frac{1}{\cos^2(\theta/4) }\neq 0 \; \forall \theta \in -\pi \leq \theta \leq \pi \end{array} \)
Podemos hacer entonces:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \cos \theta = \cos \left(\frac{\theta}{2} + \frac{\theta}{2} \right)= \cos^2(\theta/2) - \sin^2 (\theta/2) = \\
     \\
    = \left[\frac{1- \tan^2(\theta/4)}{1+ \tan^2(\theta/4)}\right]^2 - \left[\frac{2·\tan(\theta/4)}{1+ \tan^2(\theta/4)}\right]^2
    \end{array}\)
Y haciendo el cambio de variable:
    \(\displaystyle \cos \theta = \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2 - \left(\frac{2·t}{1+t^2}\right)^2 = \frac{t^4 - 6·t^2 + 1}{(1+t^2)^2}\)
Análogamente:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \sin \theta = \sin \left(\frac{\theta}{2} + \frac{\theta}{2} \right)= 2\sin(\theta/2)·\cos(\theta/2) = \\
     \\
    = 2·\left[\frac{1- \tan^2(\theta/4)}{1+ \tan^2(\theta/4)}\right] \left[\frac{2·\tan(\theta/4)}{1+ \tan^2(\theta/4)}\right]
    \end{array}\)
Y haciendo el cambio:
    \( \displaystyle \sin \theta = 2 \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\left(\frac{2·t}{1+t^2}\right) = 4·\frac{(1-t^2)t}{(1+t^2)^2}\)
Con lo que la curva vendrá dada en la forma:
    \(\displaystyle X_1 = a· \frac{t^4 - 6·t^2 + 1}{(1+t^2)^2} \quad ; \quad X_2 = 4a·\frac{(1-t^2)t}{(1+t^2)^2} \)
Para \(-1 \leq t \leq 1\)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás