PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 23

La curvatura y la torsión vienen dadas respectivamente por:
    \( \displaystyle K = \frac{|X'\wedge X''|}{|X'|^3}\quad ; \quad \tau = \frac{[X', X'', X''']}{|X'\wedge X''|^2} \)
Tenemos entonces:
    \(\begin{array}{l}
    X' = \frac{dX}{dt} = (3-3t^2)e_1 + 6t·e_2 + (3+3t^2)e_3 \\
    \\
    X'' = -6t·e_1 + 6·e_2 + 6t·e_3 \quad ; \quad X''' = - 6·e_1 + 6·e_3
    \end{array}\)
Y a partir de ahí:

    \( |X'\wedge X''|^2 = 2·18^2(t^2 + 1)^2\quad ; \quad |X'| = (t^2 + 1)\sqrt{18}\)
Por lo que la curvatura valdrá:
    \( \displaystyle K = \frac{|X'\wedge X''|}{|X'|^3} = \frac{(t^2 + 1)·18\sqrt{2}}{(t^2 + 1)^3·18\sqrt{18}}= \frac{1}{3·(t^2 + 1)^2}\)
Continuando tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    X''\wedge X''' = [6(-t·e_1 + e_2 + t·e_3)\wedge 6(-e_1 + e_3)] =\\= 36(e_1 + e_3) \\
    \\
    X'(X''\wedge X''')= [X', X'', X'''] = 36(3-3t^2) +\\ +36(3 + 3t^2) = 36 \times 3 = 216
    \end{array} \)
Y finalmente:
    \( \displaystyle \tau = \frac{[X', X'', X''']}{|X'\wedge X''|^2} = \frac{216}{2·18^2(t^2 + 1)} = \frac{1}{3(t^2 + 1)^2}\)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás