PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

ver el enunciado en

Ejercicios resueltos de geometría

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas resueltos

 

Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 22

Sabemos que la normal principal viene dada por:
    \( \displaystyle\hat{n} = \frac{\vec{K}}{ |\vec{K}|} = \frac{\dot{\hat{t}}}{ |\dot{\hat{t}}|} \)
Calculamos entonces el vector \(\hat{t} = X'/|X'|\):
    \( \displaystyle\begin{array}{l} X' = - \sin te_1 + \cos te_2 + e_3\quad ; \quad |X'|= \sqrt{2} \\ \\ \vec{t}= \frac{1}{\sqrt{2}}(- \sin te_1 + \cos te_2 + e_3) \end{array} \)
Y a partir de ahí :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \vec{K} = \dot{t} = \frac{t'}{|x'|} = - \frac{1}{2}(\cos te_1 + \sin te_2) \\ \\ \hat{n} = \frac{\vec{K}}{|\vec{K}|}= - \cos te_1 - \sin te_2 \end{array} \)
Y en el punto \(\pi/2\) se tiene.
    \( \displaystyle \hat{n}(\pi/2) = - \frac{1}{2}(e_1 + e_2) \)
Para calcular el plano osculador tenemos que determinar el vector binormal:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \hat{b}= \hat{t}\wedge \hat{n} = \frac{1}{2}( \sin te_1 - \cos te_2 + e_3) \\ \\ \hat{b}(\pi/2)= \frac{1}{2}( e_1 - e_2 + \sqrt{2}e_3) \end{array} \)
Tenemos entonces que el plano osculador en el punto \(t = \pi/2\) será:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    [Y - X(\pi/2)]\hat{b}= [(y_1, y_2, y_3)- \\
    \\
    - \frac{1}{2}(\sqrt{2} e_1 + \sqrt{2}e_2 + \pi·e_3)]\frac{1}{2}(e_1 - e_2 + \sqrt{2}·e_3)= 0
    \end{array}\)
Y haciendo operaciones:
    \( \displaystyle y_1 - y_2 + \sqrt{2}·y_3 - \frac{\sqrt{2}·\pi}{2} = 0 \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás