PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

ver el enunciado en

Ejercicios resueltos de geometría

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas resueltos

 

Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 21

La ecuación de la tangente será:
    \(y = X(1) + \lambda·X'(1) \)
Y tenemos:
    \( \begin{array}{l}
    X'_1 = 4·t \quad ; \quad X'_2 = -1 \quad ; \quad X'_3 = 2·t \\
    \\
    X'(t) = 4t·e_1 - e_2 + 2t·e_3 \Rightarrow X'(1) = 4e_1 - e_2 + 2e_3
    \end{array} \)
Con lo que resulta:
    \(\displaystyle y = (1, 0, 1) + \lambda (4, -1, 2) \Rightarrow \frac{y_1 - 1}{4} = - \frac{y_2}{1} = \frac{y_3 - 1}{2} = \lambda \)
Para encontrar al ecuación de la normal principal tenemos que calcular el vector \(\hat{n}\) que viene dado por:
    \( \displaystyle\hat{n} = \frac{\vec{K}}{ |\vec{K}|} = \frac{\dot{\hat{t}}}{ |\dot{\hat{t}}|} = \frac{\ddot{X}}{|\ddot{X}|} \)
Tenemos entonces:
    \( \displaystyle \hat{t} = \frac{X'}{|X'|} = \frac{4t·e_1 - e_2 + 2t·e_3}{\sqrt{20·t^2 + 1}}\quad ; \quad \hat{t}(1) = \frac{4·e_1 - e_2 + 2·e_3}{\sqrt{21}} \)
Y para \(\dot{t}\) :
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \dot{t} = \frac{d\hat{t}}{ds} = \frac{d\hat{t}}{dt}\frac{dt}{ds} = \frac{\vec{t}'}{|X'|} = \frac{d}{dt}\left(\frac{4t·e_1 - e_2 + 2t·e_3}{\sqrt{20·t^2 + 1}}\right)\frac{1}{|X'|} = \\
    \\
    \frac{4·e_1 + 20t·e_2 + 2·e_3}{(20·t^2 + 1)^{3/2}}·\frac{1}{\sqrt{20t^2 + 1}} = \frac{4·e_1 + 20t·e_2 + 2·e_3}{(20t^2 + 1)^2}
    \end{array} \)
Con lo que resulta:
    \( \displaystyle \vec{K}(1) = \dot{t}(1) = \frac{4·e_1 + 20·e_2 + 2·e_3}{441} \)
Y por último:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \hat{n} = \frac{\vec{K}}{|\vec{K}|} = \frac{4e_1 + 20e_2 + 2e_3}{441} : \frac{\sqrt{420}}{441} = \\  \\ = \frac{2}{\sqrt{420}}(2e_1 + 10e_2 + e_3) \end{array} \)
Con lo que la recta norma principal será:
    \( \displaystyle \frac{x_1 - 1}{2} = \frac{x_2}{10} = \frac{x_3 - 1}{1} = \lambda \)
Por ltimo para calcular el vector binormal ponemos:
    \( \displaystyle\begin{array}{l} \hat{b} = \hat{t}\wedge \hat{n} = [\frac{1}{\sqrt{21}}(4e_1 + e_2 + 2e_3)]\wedge \\ \\ \wedge [\frac{2}{\sqrt{420}}(2e_1 + 10e_2 + e_3)] = \frac{1}{21\sqrt{20}}(- 21e_1 + 42e_3) \end{array} \)
Y la recta binormal será :
    \( \displaystyle \frac{x_1 - 1}{-21} = \frac{x_3 - 1}{42} = \lambda \Rightarrow \frac{x_1 - 1}{-1} = \frac{x_3 - 1}{2} = \lambda \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás