PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Demostrar que las ecuaciones:
    \( \begin{array}{l}
    X = t·e_1+ \sin t·e_2 + e^t·e_3 \quad para\quad -\infty \leq t \leq \infty \\
    \\
    X^* = \ln \theta e_1 + \sin(\ln \theta)·e_2 + \theta·e_3 \quad para\quad -\infty \leq \theta \leq \infty
    \end{array}\)
Representan la misma curva orientada.

Respuesta al ejercicio 19

Ya que ambas ecuaciones representan a una misma curva tiene que haber entre las dos representaciones un cambio admisible de parametro con la misma orientación. Si llamamos \(t = \ln \theta\) como cambio de parámetro, resulta:

    \( \displaystyle \frac{dt}{d\theta} = \frac{1}{\theta} > 0\)
Que es una función continua en el intervalo \(0\leq \theta \leq \infty\) y además:
    \( Si\quad t \rightarrow -\infty \Rightarrow \theta \rightarrow 0\quad y \quad si\quad t \rightarrow \infty \Rightarrow \theta \rightarrow \infty\)
Por lo tanto, cambio de parámetro es admisible y tiene la misma orientación, por lo que existe una relación entre ambas curvas, pero esto significa que están en la misma clase de equivalencia y representan a la misma curva orientada.
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 
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tema escrito por: José Antonio Hervás