PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Estudiar la gráfica de la ecuación dada en polares:
    \( r = 2·\cos \theta - 1 \quad ; \quad 0\leq \theta \leq 2·\pi \)
Dar su representación paramétrica regular y estudiar la orientación para los cambios de parámetrico:
    \( 1º) \; \theta = t+ 1 \; ; \; 2º)\; \theta = -t \; ; \quad 3º)\; \theta =\left\{
    \begin{array}{ll}
    t & si\; 0\leq t \leq \pi/3 \\
    -t+2 & si \; \pi/3 \leq t \leq 5\pi/3 \\
    t & si \; 5\pi/3 \leq t \leq 2\pi \\
    \end{array}
    \right.
    \)
Respuesta al ejercicio 18

Veamos primero si la representación dada es regular:

    \( \begin{array}{l}
    X_1 = r·\cos \theta \rightarrow X_1 = (2·\cos \theta - 1)\cos\theta\\ X'_1= \sin \theta - 4·\sin \theta\cos\theta
    \\
    X_2 = r·\sin \theta \rightarrow X_2 = (2·\cos \theta - 1)\sin\theta\quad ; \quad
    \\
    X'_2= - 2·\sin^2\theta + (2\cos \theta - 1)\cos \theta
    \end{array}\)
Y puesto que las derivadas son contínuas, se tiene \(X \in C^1(I)\) :

    \( \begin{array}{l}
    |X'| = \sqrt{(\sin \theta - 4·\sin \theta\cos\theta)^2 + [- 2·\sin^2\theta + (2\cos \theta - 1)\cos \theta]^2} = \\
    \\
    = \sqrt{1 - 4·\cos \theta + 4} = \sqrt{5 - 4·\cos \theta } \neq 0 \quad \forall \theta \in I
    \end{array}\)
Así pues, la representación es regular. La representación gráfica de la curva será la dada en la figura adjunta.
figura problema 18
Estudiamos ahora los cambios de parámetro. Primero:
    \( \displaystyle \theta = t + 1 \Rightarrow t = \theta - 1 \Rightarrow \frac{d\theta}{dt} = 1 \neq 0\)
El primero es un cambio admisible de parámetro y tiene la misma orientación .

    \( \displaystyle \theta = -t \Rightarrow t = \theta \Rightarrow \frac{d\theta}{dt} = -1 \neq 0\)
Este segundo también es un cambio adisible de parámetro pero tiene distinta orientación.

Para el tercer caso consideramos la gráfica adjunta de la que vemos que no es contínua en todos los puntos del intarvalo considerado para la curva.
figura problema 18
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 
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tema escrito por: José Antonio Hervás