PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 17

Son rectificables aquellas curvas o trozos de curva que admiten un supremo. Podemos demostrar que la curva del enunciado es rectificable demostrando que es regular. Tenemos según eso:
    \( \begin{array}{l}
    \left.
    \begin{array}{l}
    X'_1 = 2t \\
    \\
    X'_2 = \cos t \\
    \end{array}
    \right\} \textrm{ contínuas en }[0, \pi/2]\Rightarrow X(t)\in C^1 \\
    \\
    X'(t) \neq 0 \Rightarrow |X'(t)| = \sqrt{4t^2 + \cos^2 t} \neq 0 \forall t \in [0, \pi/2]
    \end{array}\)
Y puesto que cumple las condiciones para ser regular, podemos decir también que es rectificable.
El resultado lo podemos encontrar también empleando directo. Para ello, tomamos una participación, P, del intervalo \([0, \pi/2]\) y escribimos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} S(P) = \sum_{i=1}^n|X(t_i) - X(t_{i-1}| = \sum_{i=1}^n|(t_i^2 - t_{i-1}^2)e_1 + \\ + (\sin t_i - \sin t_{i-1})e_2|\leq \sum_{i=1}^n(|t_i^2 - t_{i-1}^2| + |\sin t_i - \sin t_{i-1}|) = \\ = \sum_{i=1}^n(|t_i + t_{i-1}||t_i - t_{i-1}| + |\cos \theta_i||t_i - t_{i-1}|) = \\ = \sum_{i=1}^n(|t_i + t_{i-1}| + |\cos \theta _i|)(t_i - t_{i-1}) \end{array} \)
En la ultima parte hemos utilizado el teorema del valor medio, siendo \(\theta_i\) un valor comprendido entre \(t_i\; y \; t_{i-1}\).

Podemos ver aquí que la expresión \(\sum_{i=1}^n(|t_i + t_{i-1}|+ |\cos \theta_i|)\) siempre se conservará menor o igual que \((\pi + 1) \forall t\in [0, \pi/2]\) puesto que el módulo del vector derivado X' cumple dicho requisito y viene dado por \(|2t·e_1 + \cos t·e_2|\) . Así pues, nos queda:

    \( \displaystyle \leq (\pi + 1)\sum_{i=1}^n(t_i - t_{i-1}) = (\pi + 1)·\frac{\pi}{2}\)
Ya que \(\pi/2\) es la longitud del intervalo I. Y puesto que hemos acotado la curva por un supremo, podemos decir que es rectificable.
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás