PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 16

Se dice que una representación, X = X(t), es parámetrica regular, con \(t\in I\), si cumple:

    \( i) X\in C^1(I)\qquad ; \qquad ii) X(t) \neq 0 \forall t \in I\)
Tenemos según eso:
    \( X'_1 = - \sin \theta\quad ; \quad X'_2 = \cos\theta \quad ; \quad X'_3 = \cos \theta/2\)
Y puesto que las derivadas son contínuas para el intervalo considerado se tendrá:
    \(X \in C_1 \in \; -2\pi \leq \theta \leq 2\pi \)
Para demostrar la segunda condición también podemos escribir:
    \(\begin{array}{l} X'(\theta)\neq 0 \Rightarrow |X'(\theta)|= \sqrt{\sin^2 \theta+ \cos^2 \theta+ \cos^2(\theta /2)} \neq \\  \\ \neq 0\; \forall \theta \in -2\pi \leq \theta \leq 2\pi \end{array}\)
Y la curva considerada es regular.
Por otro lado, tenemos que la ecuación de la esfera es \(X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 = 4 \), es decir:
    \(\begin{array}{l}
    (1 + \cos \theta)^2 + \sin^2 \theta + 4·\sin^2(\theta/2) = 4 \\
     \\
    1 + 2·\cos \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 4·\sin^2(\theta/2) = 4
    \end{array}\)
Pero teniendo en cuenta que \(\cos \theta = 1 - 2·\sin^2 (\theta/2)\) resulta finalmente:

    \( 1 + 2[1 - 2·\sin^2 (\theta/2)] + 1 + 4·\sin^2 (\theta/2) = 4 = 1 + 2 + 1 = 4\)
Análogamente, para el cilindro, tenemos: \((X_1 - 1)^2 + X_2^2 = 1\), es decir:

    \([(1+ \cos \theta) - 1]^2 + \sin^2\theta = 1 \Rightarrow \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás