Ejercicios de geometríaDemostrar la relación de equivalencia en el conjunto de
las representaciones regulares.
Respuesta al ejercicio 15
La relación de equivalencia esta definida en la forma:
Sean \( X = X(t) \; y \; X^* = X^*(t)\) dos representaciones parámetricas
regulares. Entonces, la relación de equivancia entre ellas
vendrá dada por:
\(X \; \Re \; X^* \Rightarrow \exists\) un cambio admisible
de parámetro que lleve de \( X \; a \; X^* \)
Y ha de cumplir las propiedades:
Reflexiva.- \(X\; \Re\; X\) evidentemente, pues tomando
\(\left\{
\begin{array}{l}
dt/dt = 1 \neq 0 , \textrm{ contínua } \forall t \\
t(I_t)= I_t ; \Rightarrow X[t(t)] = X(t) \\
\end{array}
\right.\)
Simétrica.-
\( \begin{array}{l}
Si \; X\; \Re\; X^* \Rightarrow \exists t \; t. q. \left\{
\begin{array}{l}
t(\theta)\in C^1(I_\theta) \\
dt/d\theta \neq 0 \forall \theta \in I_\theta \\
\end{array}
\right\} \\
\\
\left.
\begin{array}{l}
t^{-1}(\theta) = g(t) \in C^1(I_t) \\
d\theta/dt \neq 0, \, \forall t \in I_t \\
\end{array}
\right\} \quad X^*\; \Re\; X
\end{array}\)
Transitiva \(X \; \Re\; X^* \; y X^* \; \Re\; X^{**}\) podemos
poner:
\(\begin{array}{l}
\begin{array}{l}
t(\theta)\in C^1 (I_\theta) \\
\\
dt/d\theta \neq 0 \forall \theta \in I_\theta
\end{array}\left|
\begin{array}{l}
\theta (\xi)\in C^1 (I_\xi) \\
\\
d\theta/d\xi \neq 0 \forall \xi \in I_\xi \\
\end{array}
\right| \\
\\
\left.
\begin{array}{l}
t(\xi)= t[\theta(\xi)]\in C^1(I_\xi) \\
\\
\frac{dt}{d\xi} = \frac{dt}{d\theta}ˇ\frac{d\theta}{d\xi}\neq 0\; \forall \; \xi \in I_\xi \\
\end{array}
\right\}\quad X\; \Re\; X^{**}
\end{array}
\)
Y queda demostrado lo que nos proniamos.
PROBLEMAS
RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA
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