Ejercicios de geometría

Demostrar la relación de equivalencia en el conjunto de las representaciones regulares.

Respuesta al ejercicio 15

La relación de equivalencia esta definida en la forma: Sean \( X = X(t) \; y \; X^* = X^*(t)\) dos representaciones parámetricas regulares. Entonces, la relación de equivancia entre ellas vendrá dada por:

\(X \; \Re \; X^* \Rightarrow \exists\) un cambio admisible de parámetro que lleve de \( X \; a \; X^* \)

Y ha de cumplir las propiedades:

Reflexiva.- \(X\; \Re\; X\) evidentemente, pues tomando

\(\left\{
\begin{array}{l}
dt/dt = 1 \neq 0 , \textrm{ contínua } \forall t \\
t(I_t)= I_t ; \Rightarrow X[t(t)] = X(t) \\
\end{array}
\right.\)

Simétrica.-
\( \begin{array}{l} Si \; X\; \Re\; X^* \Rightarrow \exists t \; t. q. \left\{ \begin{array}{l} t(\theta)\in C^1(I_\theta) \\ dt/d\theta \neq 0 \forall \theta \in I_\theta \\ \end{array} \right\} \\ \\ \left. \begin{array}{l} t^{-1}(\theta) = g(t) \in C^1(I_t) \\ d\theta/dt \neq 0, \, \forall t \in I_t \\ \end{array} \right\} \quad X^*\; \Re\; X \end{array}\)

Transitiva \(X \; \Re\; X^* \; y X^* \; \Re\; X^{**}\) podemos poner:

\(\begin{array}{l} \begin{array}{l} t(\theta)\in C^1 (I_\theta) \\ \\ dt/d\theta \neq 0 \forall \theta \in I_\theta \end{array}\left| \begin{array}{l} \theta (\xi)\in C^1 (I_\xi) \\ \\ d\theta/d\xi \neq 0 \forall \xi \in I_\xi \\ \end{array} \right| \\  \\ \left. \begin{array}{l} t(\xi)= t[\theta(\xi)]\in C^1(I_\xi) \\ \\ \frac{dt}{d\xi} = \frac{dt}{d\theta}·\frac{d\theta}{d\xi}\neq 0\; \forall \; \xi \in I_\xi \\ \end{array} \right\}\quad X\; \Re\; X^{**} \end{array} \)

Y queda demostrado lo que nos proniamos.