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ejercicios resueltos de geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Hallar la curvatura y la torsión para la curva de ecuaciones paramétricas:
    \(x = u \quad ; \quad y = u^2 \quad ; \quad z = u^3 \)
Respuesta al ejercicio 13

Las expresiones que nos dan la curvatura y la torsión son:

    \( \displaystyle K = \frac{|X' \wedge X''|}{|X'|^3} \qquad ; \qquad \tau = \frac{[X' , X'' , X''']}{|X' \wedge X''|^2} \)
Tenemos entonces:
    \( \begin{array}{l}
    X' = (1, 2u , 3u^2)\quad ; \quad X'' = (0 , 2 , 6u)\quad ; \quad X'''= (0 , 0 , 6) \\
    \\
    X' \wedge X" = (6u^2 , -6u , 2) \quad ; \quad [X' , X'' , X'''] = 12
    \end{array} \)
Y podemos escribir:
    \( \displaystyle\begin{array}{l} K = \frac{\sqrt{36u^4 + 36u^2 + 4}}{(\sqrt{1 + 4u^2 + 9u^4})^3} \\ \\ \tau = \frac{12}{36u^4 + 36u^2 + 4} = \frac{3}{9u^4 + 9u^2 + 1} \end{array} \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 
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tema escrito por: José Antonio Hervás