PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 12

Empleamos la representación X = X(S) y escribimos la ecuación de la tangente:
    \(y(S) = X(S) + \lambda·\vec{t}(S)\)
Podemos decir que para todo S se verifica:
    \( \exists\; y_o\; t.q. \quad y_o = X(S) + \lambda(S)·\vec{t}(S) \)
Y derivando esta expresión:
    \(0 = \dot{X} + \dot{\lambda}(S)·\vec{t}(S) + \lambda(S)·\dot{\vec{t}}(S) = (1 + \dot{\lambda})\vec{t} + \lambda·\dot{t} \)
Multiplicando escalarmente por \(\dot{t}\):

    \( \begin{array}{l} (1 + \dot{\lambda})\vec{t}·\dot{t} + \lambda·\dot{t}·\dot{t} = 0 \Rightarrow \lambda·\dot{t}·\dot{t} = 0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \lambda (K·\vec{n})(K·\vec{n})= \lambda·K^2 = 0 \Rightarrow K = 0 \end{array}\)
Y al ser la curvatura nula la curva es una recta.
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás