PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 10

Cuando se emplea la representación X_1 = t(S) tenemos:

    \( \displaystyle\left|\frac{dX_1}{dS}\right| = \left|\frac{dt}{dS}\right| = |\dot{t}| = |K·\vec{n}| = K \)
Y la parametrización es natural cuando K = 1.

Por otro lado, teniendo en en cuenta la expresión general, podemos escribir:
    \( \displaystyle K_1 = \frac{|\dot{X}_1\wedge \dot{X}_1|}{|\dot{X}_1|^3} \)
Pero, por teoría, hemos visto que se cumple:
    \( \begin{array}{l}
    \dot{X}(S) = t(S) \Rightarrow \ddot{X}(S) = \dot{t}(S) = K·\vec{n} \Rightarrow \dot{X}_1 = \dot{t}(S) = K·\vec{n} \\
    \\
    \ddot{X}_1(S) = \mathop {X}\limits^{···} = -K^2·\vec{t} + \dot{K}·\vec{n} + \tau·K·\vec{b} \qquad ; \qquad |\dot{X}_1|^3 = K^3
    \end{array} \)
Y sustituyendo:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} K_1 = \frac{|K·\vec{n}\wedge (-K^2·\vec{t}+ \dot{K}·\vec{n}+ \tau·K·\vec{b})|}{K^3} =\\= \frac{|-K^3·\vec{n}\wedge \vec{t}+ K^2\tau·\vec{n}\wedge \vec{b}|}{K^3} \\ \\ = \frac{|-K^3·\vec{b}+ K^2\tau·\vec{t}|}{K^3} = \frac{|-K·\vec{b}+ \tau·\vec{t}|}{K} =\\= \frac{\sqrt{K^2 + \tau^2}}{K} \Rightarrow K_1^2 = \frac{K^2 +\tau^2 }{K^2} \end{array} \)
Con lo que hemos demostrado lo que nos proponiamos.
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás