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Ejercicios de geometría

Demostrar que si todos los planos osculadores de una curva tienen un punto de intersección común, la curva es plana.

Respuesta al ejercicio 9

Por teoría sabemos que una curva es plana cuando su torsión, \(\tau\), es idénticamente nula. Consideremos la curva X = X(S). La ecuación del plano osculador que pasa por un punto X(S) es:
    \( [y - X(S)]\vec{b}= 0 \)
Si todos los planos tienen un punto común de intersección, podemos escribir:

    \( [y - X(S)]\vec{b}= 0\qquad (*) \)
Y derivando respecto a S:

    \( \displaystyle \frac{d}{dS}[y_o - X(S)]\vec{b}= - \dot{X}(S)·\vec{b} + [y_o - X(S)]\dot{b}= 0 \)
En esta expresión el primer término es nulo pues se tiene:
    \(- \dot{X}·\vec{b}= -\vec{t}·\vec{b} = 0\) por ser \(\vec{t}\; y \; \vec{b}\) vectores ortogonales
Nos queda entonces, aplicando la tercera fómula de Frenet:
    \([y_o - X(S)]\dot{b}= 0 \Rightarrow [y_o - X(S)](- \tau·\vec{n})= 0 \Rightarrow \tau [y_o - X(S)]\vec{n} = 0 \)
Supongamos que existe un punto So tal que \(\tau(S_o) \neq 0\), entonces existe un entorno de ese punto para el que se cumple \(\tau \neq 0\) y podemos poner:
    \( [y_o - X(S)]\vec{n}= 0 \)
Y considerando esta expresión junto a (*):

    \( \begin{array}{l}
    [y_o - X(S)]\vec{b}= 0 \\
    \\
    [y_o - X(S)]\vec{n}= 0
    \end{array}\left|
    \begin{array}{l}
    \vec{t}·\vec{b} = 0 \\
    \\
    \vec{t}·\vec{n} = 0 \\
    \end{array}
    \right\} \quad [y_o - X(S)] = \lambda (S)·\vec{t}(S) \)
La expresión sale de considerar que \([y_o - X(S)]\) cumple las mismas propiedades que \(\vec{t}\). A partir de ella podemos poner:
    \( y_o = X(S) + \lambda(S)·\vec{t}(S) \)
Y en el entorno considerado, la curva es una recta por lo que necesariamente se cumplirá \(\tau = 0\). Esto va en contra de la hipótesis de que existe un punto \(S_o\; t.q.\; \tau(S) \neq 0\) por lo tanto, no se cumple ésta y la curva es plana en toda su extensión.
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 
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tema escrito por: José Antonio Hervás