PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Demostrar que los puntos de la hélice:
    \(X = a·\cos t·e_1 + a·\sin t·e_2 + b·t·e_3 \)
Cuyos planos osculadores pasan por un punto fijo, están en un plano.

Respuesta al ejercicio 8

Los valores de X' y X" son:
    \( \begin{array}{l} X' = - a\sin te_1 + a\cos te_2 + be_3 \\ \\ X" = - a\cos te_1 - a\sin te_2 \end{array}\)
En un problema anterior hemos visto que el plano osculador viene dado por la ecuación:
    \( [Y-X , X' , X"]= 0 \)
Si desarrollamos este determinante para un punto fijo \(y^o = (y_1^o , y_2^o , y_3^o)\) tenemos:
    \( \left|
    \begin{array}{ccc}
    y_1^o - a·\cos t & - a·\sin t & - a·\cos t \\
    y_2^o - a·\sin t & a·\cos t & - a·\sin t \\
    y_3^o - b·t & b & 0 \\
    \end{array}
    \right| = 0 \)
Y esta expresión satisface:
    \( ab·y_1^o·y_1 - ab·y_2^o·y_2 - a^2y_3 + a^2y_3^o = 0 \)
Que es la ecuación de un plano.
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 
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tema escrito por: José Antonio Hervás