PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 7

Sabemos que el vactor X' viene dado por:

    \( \displaystyle X' = \frac{dX}{du} = \frac{dX}{dS}·\frac{dS}{du}= \vec{t}|X'| \)
Y según hemos visto en el problema anterior, el vector X" vale:

    \( \displaystyle X" = K|X'|^2·\vec{n} + \vec{t}·\frac{d|X'|}{du} \)
Según este resultado los vectores X' y X" son paralelos al plano osculador, por lo que el vector característico del plano será \(X' \wedge X"\) y podemos escribir:
    \( (Y - X)(X' \wedge X") = [Y-X , X' , X"]= 0 \)
Aplicando la fórmula para el ejemplo dado:
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    X' = \frac{dX}{du} = e_1 + 2u·e_2 + 3u^2·e_3 \quad ; \quad X'(1) = e_1 + 2·e_2 + 3·e_3 \\
    \\
    X" = \frac{dX'}{du} = 2u·e_2 + 6u·e_3 \quad ; \quad X"(1) = 2·e_2 + 6·e_3
    \end{array} \)
Con lo que resulta:

    \( [Y-X , X' , X"] = \left|
    \begin{array}{ccc}
    y_1-1 & y_2-1 & y_3-1 \\
    1 & 2 & 3 \\
    0 & 2 & 6 \\
    \end{array}
    \right| = 0 \)
Y haciendo operaciones:
    \(12(y_1-1) + 2(y_3-1) - 6(y_2-1) = 0 \Rightarrow 6·y_1 - 3·y_2 + y_3 -4 = 0 \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás