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ejercicios resueltos de geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Demostrar que en toda extensión de la curva \(X= X(u)\), el vector X" es paralelo al plano osculador y que sus componentes respecto de \(\vec{t}\; y \; \vec{n}\) son:
    \( \displaystyle \frac{d|X'|}{du} \qquad ; \qquad K|X'|^2 \)
Respuesta al ejercicio 6

Si el vector X" es paralelo al plano osculador será combinación lineal de los vectores que determinan dicho plano . En nuestro caso, el plano osculador está determinado por el vector tangente y el vector normal pricipal. Tenemos entonces:
    \( \displaystyle
    \begin{array}{l}
    X' = \frac{dX}{du} = \frac{dX}{dS}·\frac{dS}{du}= \vec{t}|X'|
    \\
    \\
    X" = \frac{d}{du}[\vec{t}|X'|] = \frac{d\vec{t}}{du}|X'| + \vec{t}·\frac{d|X'|}{du} =
    \\
    \\
    = \frac{d\vec{t}}{dS}\frac{dS}{du}|X'| + \vec{t}·\frac{d|X'|}{du} = \vec{K}|X'|^2 + \vec{t}·\frac{d|X'|}{du}
    \\
    \end{array}
    \)
Pero se cumple \(\vec{K} = K·\vec{n}\), y, en consecuencia:
    \( \displaystyle X" = K|X'|^2·\vec{n} + \vec{t}·\frac{d|X'|}{du} \)
Por lo que queda demostrado lo que nos proponíamos.
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 
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tema escrito por: José Antonio Hervás