PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 5

Para calcular la normal y la binormal se emplean respectivamente las fórmulas:
    \( \displaystyle \vec{n}(S) = \frac{\vec{K}(S)}{|K(S)|} = \frac{\dot{t}(S)}{\dot{t}(S)}\quad ; \quad \vec{b}= \vec{t}\wedge \vec{n} \)
Y podemos escribir:
    \( \displaystyle t = \frac{X'}{|X'|}\quad ; \quad \dot{t} = \frac{d\vec{t}}{dS} = \frac{dt}{du}·\frac{du}{dS} = \frac{t'}{|X'|} \)
Con lo que tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    X' = \frac{dX}{du} = (3 - 3u^2)·e_1 + 6u·e_2 + (3 + 3u^2)·e_3 \\
    \\
    |X'| = \sqrt{X'·X'} = \sqrt{(3-3u^2)^2 + 6^2u^2 + (3+3u^2)^2} =\\ = \sqrt{18(1+u^2)^2} = 3\sqrt{2}(1+u^2)
    \\\\
    t = \frac{1}{\sqrt{2}(1+u^2)}[(1-u^2)e_1 + 2u·e_2 + (1+u^2)e_3]
    \end{array} \)
Derivando esta expresión respecto de u nos queda:
    \( \displaystyle \vec{t}' = \frac{d\vec{t}}{du} = \frac{\sqrt{2}[-2u·e_1 + (1-u^2)·e_2]}{(1+u^2)^2} \)
Y a partir de ahí:
    \( \displaystyle \dot{t} = \frac{t'}{|X'|} = \frac{-2u·e_1+ (1-u^2)·e_2}{3(1+u^2)^3}\Rightarrow |\dot{t}| = \frac{1}{3(1+u^2)^2} \)
Con lo que resulta:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \vec{n}(S) = \frac{-2ue_1+ (1-u^2)e_2}{3(1+u^2)^3}: \frac{1}{3(1+u^2)^2} = \\ \\ = \frac{-2ue_1+ (1-u^2)e_2}{(1+u^2)^2} \end{array}\)
Para calcular la binomial hacemos:
    \( \displaystyle \vec{b} = \vec{t}\wedge \vec{n} = \frac{1}{2(1+u^2)^2}[(1-u^2)e_1 - 2u·e_2 + e_3] \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás