PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
geometría diferencial teoría de curvas

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Ejercicios resueltos de geometría

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Ejercicios de geometría

Respuesta al ejercicio 4

Lo que hemos de hacer es calcular s= s(t) en función de t. Para ello se emplea la expresión:
    \( \displaystyle S = \int_{t_o}^t \sqrt{X'·X'}·dt \)
Para curvas orientadas , todos los valores < to dan logitud negativa y los valores > to dan logitud positiva. En el cálculo se puede tomar to = 0, con lo que nos queda:

    \( \displaystyle S = \int_0^t \sqrt{X'·X'}·dt \)
Calculamos el valor de X' :
    \( X' = (e^t·\cos t e^t·\sin t)·e_1 + (e^t·\sin t e^t·\cos t)·e_2 + e^t·e_3\)
Con lo que resulta:
    \( \sqrt{X'·X'} = |X'| = \sqrt{e^{2t}(\cos t - \sin t)^2 + e^{2t}(\sin t + \cos t)^2 + e^{2t}}= \sqrt{3}·e^t \)
Y a partir de ahí:
    \( S = \int_0^t \sqrt{3}·e^t·dt = \left.\sqrt{3}·e^t\right]_0^t = \sqrt{3}·e^t - \sqrt{3} = \sqrt{3}(e^t - 1) \)
Con lo que resulta:
    \( \displaystyle S =\frac{S}{\sqrt{3}} + 1 = e^t \Rightarrow t = \ln \left(1 + \frac{S}{\sqrt{3}} \right) \)
Sustituyendo este valor de t en la ecuación de la curva, tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    X_1 = \left(1 + \frac{S}{\sqrt{3}} \right)\cos\left[\ln \left(1 + \frac{S}{\sqrt{3}} \right)
    \right]\\\\ X_2 = \left(1 + \frac{S}{\sqrt{3}} \right)\sin\left[\ln \left(1 + \frac{S}{\sqrt{3}} \right)
    \right] \\
    \\
    X_3 = 1 + \frac{S}{\sqrt{3}} \quad; \quad \frac{dt}{dS} = \frac{1}{(S + \sqrt{3})} > 0
    \end{array} \)
Y por lo tanto tienen la misma orientación.
Si \(t \rightarrow -\infty \Rightarrow S \rightarrow -\sqrt{3}\) y si \(t \rightarrow \infty \Rightarrow S \rightarrow \infty \Rightarrow S \rightarrow \infty \Rightarrow -\sqrt{3}< S < \infty\)
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORIA DE CURVAS Y GEOMETRÍA DIFERENCIAL
 


tema escrito por: José Antonio Hervás